Entwickelung von sin(a + ß), cos(a + ß)

u. s. w.

§• 20 . Es seyen im Endpuncte A des DurchmessersAE (Fig. 3 ) die beiden Sehnen AB, AD zu beiden Seiten Fig. 3.desselben unter den Winkeln a, ß und dann noch die Hilfs-linien BE, BD, DE gezogen; dadurch entsteht ein imKreise beschriebenes Viereck AB ED, in welchem bekannt-lich die Relation besteht:

AE.BD = BE.AD + ED.AB.

Drückt man die Sehnen nach $. 14 aus, so erhält man(wegen BE = Chord, 2a):

R E = 2 sin a, DE = 2 sin ß,

BD = 2 sin (a -J- ß) , AB = ilsina ss 2 cos a(wegen a = 90° — «), AD = 2 sinß' = 2 cos ß undAE = 2 (auch = 2sin 90°) , folglich, wenn man dieseWerthe in der vorigen Relation substituirt und gleich durch

2.2 = 4 abkürzt:

sin (a -)- ß) = sin a. cos ß -j- sin ß cos a.

Schreibt man in dieser Formel — ß statt ß und be-rücksichtiget dabei die Relationen des $.11, so erhält man:

sin (a ■—■ ß) = sin a cos ß — sin ß cos a,so, dafs man, diese beiden Fälle zusammengezogen, dieFormel hat:

sin (a + ß) = sin a cos ß + sin ß cos a.

§• 21 . Es ist ferner, wenn man diese letztere For-mel gleich anwendet (§. 5 )

cos (“ + ß) = sin [90° — (u + ß)] = sin [(90 — a) ß]

= sin (90 — a) cos ß + cos (90 — a) sin ßoder endlich (§. 5 oder §. 12):

cos (a + ß) = cos a cos ß + sin a sin ß.

Anmerk. Um zu zeigen, dafs diese beiden Grundformeln

(§§.20, 21) der Goniometrie nicht blofs für spitze Win-kel a, ß, sondern ganz Allgemein gelten, kann man auf