14 =

folgende Art verfahren. Sey zuerst ohne Rücksicht auf dieGröfse von a, ß > 90 und < 180, also ß — 90 wo

b<go; so ist sin(a-j-ß) — sin (90 -f- a -f- b) = cos{a-\-b)

= cos a cos b — sin a sin b, oder, wegen sin b = sin (ß — 90)

= — sin (go — ß) — — cosß und cosb zz cos (ß — 90)= cos (90 — ß) = sinß, wieder:

sin (a -J- ß) zz sin ß cos a im <* cos ß ;

und da diese Formel bereits für ß > 90 und < 180 gilt, sogilt auch die daraus abgeleitete für cos(n-j-ß) bei densel-ben Werthen von ß. Setzt man daher neuerdings ß zz 90 b,wo b > 90 und < 180 seyn soll; so wird

sin (a -j- ß) z= cos (a + b) = cos a cos b — sin a sin b

zz eos a sin ß -j- im a cos ß,

und es gilt sonach diese Formel (also auch die daraus abge-leitete für cos {o. ß)) bereits für Wertlie von ß>i8o und

<. 270. Da sich diese Schlüsse soweit man will fortsetzenoder wiederholen lassen, so ist die allgem. Giltigkeit derFormel von sin (a + ß), mithin auch die der übrigen darausabgeleiteten, für jeden Werth von ß erwiesen, da man end-lich bei diesen Schlüssen a mit ß verwechseln kann, so darfauch a jeden beliebigen Werth besitzen.

§. 22. Es ist ferner, diese eben entwickelten For-meln angewendet ($. 16),

sin a cosß + sinß cosa

sin (a + ß)

tang (a + ß)

cos (u + ß)

cos a cos ß -J- sin a sin ß ’

oder, wenn man Zähler und Nenner durch cosa cosß di-vidirt, gehörig abkürzt und überall statt lang setzt:

§.23. Setzt man in den Formeln der 20 — 22ß = a, so erhält man der Reihe nach: sin 2 a = 2 sin a cos a,COS 2a = cos a 2 — sin a i = 1 — 3 sin a 2 = 2 cos a. 2 — 1 (jenachdem man nämlich nach g. 18 den Cosinus durch denSinus oder Sin. durch Cos. ausdrückt) und

2 tang a

1 — tang a- ’

lang 2a zz