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a-\-b sin A -4- sin B tang 7 (A + B)

, a ~ b ~~ sillA ~ ~ tangr(,A—B)

( 5 . 27 ), d. i.

a b : a — 6 = lang £ (A -[- B) : lang\(A — B),

welche Proportion einen zweiten Hauptsatz des Dreieckesausspricht.

§• 44. So wie oben (§. 4 t) CB = bsinA = a sinBFig. 5. war, so ist auch (§. 5, Zus.) (Fig. 5) AB = b cos A undBB = a cosB , folglich AB -(- BB, d. i.

c = a cosB -j- b cos A*).

Analog mit dieser Relation hat man nochb = a cosC -J- c cos A und a — b cos C -|- c cos B.

Multiplicirt man diese 3 Gleich, beziehungsweise mitc, b, a; so erhält man:

c" = a c cos B -J- b c cos A,

b* = ab cos C -|- bc cos A,

a z = ab cos C -)- a c cos B,

und wenn man von der Summe der beiden erstem dieser

Gleichungen die letztere abzieht:

b z -J- c 1 — a 2 = 2 6 c cos A,woraus endlich der dritte für das geradl. Dreieck wichtigeSatz folgt:

C Z _ _ a 2

Cos A — - : - oder a 2 = £>* 4- c 2 — 2 bc cos A.

ibe

*) Dieselbe Relation findet man auch aus Fig. 5' mit Jlerücli-siclitigung, dafs

B D = a cos a = — a cos B und c = AB = AD — BD ist.