§•55. n. ß) Gegeben zwei Seiten und dereingeschlossene Winkel, z. B. a, b , C. In diesem Fallehat man zur Bestimmung der beiden fehlenden Winkel A undB ($. 43 ) : a-\-b : a — b = tang\(A -j-.B) : tang\(A — B), unddaraus mit Anwendung der Logarithmen: log tang± (A — B)— log (a — b) -J- log lang S(A-{- B) — log (a -)- b), in wel-chem Ausdrucke, wegen ±(A -J- B) = 90 — ^C, auchcot\C statt lang- (A -J- E) gesetzt werden könnte. Da nundurch C die Summe f (A -j- B) = s bekannt ist, und ausder vorigen Gleich, -j (A — B) = d gefunden wird; so istA = .»-)- d und B — s — d; dabei ist für a > b , weil dpositiv ausfällt, auch A > B ; für a <[ b , wird d negativ,also auch A B (im letztem Falle kann man auch a mit bverwechseln, oder überhaupt immer die gröfserc Seitedurch a bezeichnen).

Nachdem die W. A und B bestimmt sind, kann mandie Seite c nach dem Satze c : a = sin C : sin A , worauslöge = log a -j- log sin C — log sin A folgt, berechnen.

§. 56 . Um aber, was oft nothwendig und wünschens-werth ist, diese dritte Seite c unmittelbar aus den gegebe-nen Stücken zu finden , hat man ($. 44 )

c 2 = a* -j- i> 2 — 2 ab cos C,oder, wenn man zur Anwendung der Logarithmen, zum2. Theil der Gleich, 2 ab addirt und abzieht, und noch be-rücksichtiget, dafs (§. 23 ) 1 -f- cosC = 2 cos\C z ist:

c*= {a + by-^ab co,iC*=(a + by (,

. .... ^ ab cos^C " 1

und wenn man endlich - ; - = cos ® 2 setzt, wo <p

(« + Z9 2 T ’ r

einen Hilfswinkel bezeichnet, auch: c- = (a -j- b) z sin 9*

oder c = (a -}- b) sin 9.

Nachdem man also aus der Gleichung (die aus der vo-rigen für cos 9 2 folgt)

log cosf — log z-\-log cos £ -j- -j- (log a -f log b) — log (a -f b)den Hilfsw'. 9 bestimmt hat, findet man c aus jener;log c ss log (rt -{- b) log sin 9.