und wenn man abliürzt, da (§. i 5 ) sec cv- — i -f- lang a-

ist, auch langa lang b cos C = sec a sec b cos c — i , aus

welcher Gleich., wenn die Tangenten und Secanten durchSinus und Cosinus (§. 16) ausgedrückt werden, sofort folgt:

cos c — cos a cos b

cos C =- \ --.

sin a sin b

§. 63 . Bezeichnet man in derselben Ordnung die W.des zugehörigen Polardreieckes (Fig. 8) durch A', B', C'und die gegenüberl. Seiten beziehungsweise durch a, b' , c';so ist bekanntlich:

A a — 180, B -{- b' = 180, C -f- c = 180 0 und

A' —|— a =: 180, B —(— b =; 180, C —j— c = 180 0 *),

also a = 180 — A\ b = 180 — B', c — 180 — C undC = 180 — c, mithin wenn man diese Werthe in der vo-rigen Formel substituirt (d. h. auf diese die Eigenschaft desPol. Dr. anwendet) (§. i 3 ):

— Cosc =a (— cosC '— cosA'cosB') : sin A'sin B',oder, wenn man zugleich die Accente wegläfst, indem dieseRelation nun in jedem sph. Dreiecke gilt:

cos 0 4 - cos A cos ß

cos c =-:——:—--.

sin A sin ß

*) Da diese Eigenschaft des l’ol. Dreieckes nicht in allen Lehr-büchern der elem. Geometrie vorgetragen wird , so wollenwir diese hier kurz naclnveisen.

Beschreibt man auf der Kugel aus den WinkelpunctenA, ß, C des sph. Dreieckes ABC (Fig. 8) , als Pole, mitder Entfernung von go° gröfste Kreisbögen; so entsteht daszugehörige Polardreieck A'B'C'. Dieser Construction zu-folge steht aber A‘ sowohl von B als auch von C um 90 0ab, also ist A' der Pol des gröfst. Kreisbogens B C. Ebenso sind B' und C' die Pole der Bögen A C und AB; sowie also A'B'C' das Polardreieck des Dreieckes ABC , so istauch umgekehrt ABC das Polardreieclt von jenem A'B'C.

Nun ist (da DE das IVlafs des sph W. C, und FG jenesdes W. C’ ist)

C 4. A'B' DE + A'B' = DE + A’ E -f B'D — DE

m A E -j- B D = 90 —90

(weil A' der Pol von CE und B' jener von CD ist), d. i.C-j-e'= 180°, und damit analog: ß-j-//= 180, A a — 180.

Ferner ist C'-J- AB — F G A B = FB -j -GA —- AB -(- AB= FB -f GA — 90 -(- 90 (weil B der Pol von FC' und Ader Pol von CG ist), oder C'-J- c= 180°, und damit analogauch ß'-J- b = 180 und A'a— 180.

Uurg’s Compendiurn d. höh. Math.

Fig. 8.

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