§. 80 . II. Gegeben die 3 Winkel A, B, C.Zur Bestimmung der Seite a wird man am einfachsten aufdie vorigen Formeln die Eigenschaft des Polardreieckes an-wenden, indem sich dadurch die Seiten in Winkel und dieWinkel in Seiten verwandeln. Man erhält nämlich, wennA'B' -j- C' — S', also A -(- B C = S gesetzt wird, wegqn«=270° — ±S’, s —<2=90—( S' — A‘), s —6=90— (S' — B'),s — 0=90— ( 5 '—.C'), b= 180 — B ' und c — 180 — C’, mitHinweglassung der Accente:

sin \ acos\a

— cos S cos (S — A)sin li sin C

cos (S — IS) cos (. S — C)sin B sin C

und

*

woraus auch ganz einfach (J§. 16, a 3 ) die Formeln füriang-fa. und sina folgen. Durch gehörige Verwechslungder Buchstaben erhält man auch die analogen Formeln zurBerechnung von b und c.

A n m e r li. Da in jedem sph. Dreieck A-\-B-\-C>iR und < 6 R,also -j- B -j- C), d. i. S>R und <3 R ist; so ist (§. 8)cos S immer negativ. Da ferner S — A = -j(ß-{-C— A),und im entsprecli. Polardreieck V + c ' > a ' oder (§. 63 )180 — B + 180— C> 180 — ^, d. i. ^(B + C — A)< 90° ist;so ist cos (S — A) immer positiv (was auch für cos (S — B)und cos (S —C) gilt), also die obige Wurzelgröfse in sin-jafür jedes mögliche Dreieck reell.

§• 81 . III. Gegeben 2 Seiten sammt demeingeschlossenen Winkel, z. B. a, b, C. Um zu-erst die beiden W. A und B zu bestimmen, wendet man diebeiden Neper’schen Analogieen I. und II., $. 68, welchesich auch logarithmisch behandeln lassen, an, und berech-net nach der erstem (v 4 -|-B) = s, und nach der 2.\(A —B)=cf; so hat man A = s-\-d und B = s — d (wäreA<^B, so dürften nur A und B mit einander verwechseltwerden). Sind die Winkel bestimmt, so lindet man die3 . Seite c nach einer der Relationen (§. 66)

sin c = sin a sin C : sin A = sin b sin C : sin B.