Denn besteht die Gleichung i) A -j- Bx -{- Cx z -f-,.. = ofür jeden Werth von x, also auch für x — o; so folgt dafürausi): A = o und x (B -j- Cx -(- ...) = o. Dieser letztemGleich, wird aber nicht blofs für x = o, sondern auch fürB + C x -|- ... = o Genüge geleistet, aus welcher Gleich,aber wieder, wie in 1 ) B = o und x(C -)- Dx -J- . . .) = o,d. i. .c=o folgt; daraus wird wieder für x — o

sofort C — o u. s. w.

§•108- Zusatz. Sind 2 Functionen yon derselbenForm ($. io3) für alle Werthe der veränderlichen Gröfse(oder Gröfsen) einander gleich, so sind auch die gleich-namigen, d, i. jene Coefficienten, die beiderseits zu den-selben Potenzen, oder wenn es Funct. mehrerer Variablensind, zu denselben Combinationen der veränderl. Gröfsengehören, einander gleich.

Denn ist z. B. A -j- Bx -f- Cx 2 -j-.. = a -]- bx -|- cx z -(-..,so ist auch für jeden Werth von x: (A — a)-j-(B — b)x-f- (C — c)x l - j-.. = o, also nach dem vorigen §. A — a — o,B — 6 = o, C —c=aou. s. w., d. i. A=a, B—b, C=c etc.Eben so folgt auch aus der Gleich. A t x -|- A 2 x 2 j -)- A 3 xy* -j-..= <t, x -j- a^y -j- a 3 xy z -(- . . sofort A 1 = a i , A 2 — a 2 ,A 3 =a i , u. s. w.

Anmerli. Dieser hier vorgetragene Lehrsatz, unter dein Na-men des Satzes oder der Methode der unbestimm-ten Coefficienten bekannt, ist der fruchtbarste undwichtigste Satz für die gesammte höhere Analysis.

§• 109- Lehrsatz. Werden 2 oder mehrere Func-tionen von der genannten Form: A Bx Cx' 1 .

d) zusammen addirt oder von einander abgezogen, b ) zu-sammen multiplicirt, c) durch einander dividirt, oder wirdeine solche Function d) zu was immer für ganze oder ge-brochene, positive oder negative Potenzen erhoben; so istdas Resultat immer wieder eine Function von der nämli-chen (hier angeführten) Form.

a) Denn man erhält durch Addition und Subtractionder beiden Functionen A-^Bx-^-Cx'-^- .. und a-\-bx-\-cx' l -\- ..