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y n

Eben so folgt, wenn oben re— 2 statt n gesetzt wird:= (a n ~* -]- b n ~*) -f- (re— 2) a b (a n —♦ -j- b n ~ 4)

+

(re — 2) (re — 3 )

a % b z (ö«- 6 -f J«- 6 ),

und daraus erhält man, nach gehöriger Substitut, der be-reits gefundenen Werthe und der einfachen Reduction :

a n-» _j_ bn-z — yn— * _ - n)abf n ~i

+

(re — 2) (re — 5 )1 . 2

a 1 b 2 y n ~^.

Läfst man endlich in 1) re ungeändert, bestimmt dar-aus a n -{- b n , indem man für die bereits durch y ausge-drückten Binome substituirt; so erhält man, wenn man zu-gleich die Entwickelung so weit hersetzt, wie sie erhaltenwird, wenn man nicht mit dem Binome a n ~ 6 -f- b n ~ ( ’, son-dern erst mit jenem a n ~ 10 -j- b n ~ 10 überall abbricht*) :

n t , , . n(n ■ — 3 ) ,

a) a n -j- b n = — n(iby n ~~ % -|- -- a % b z

— »i^2±L- r 5 A a 3 6 3 r n_6 . ”i. ra - 5 Hre-6)(re- 7 ) B

1.2.3 17 1.2 . 3 . 4 J

n (re 6) (re 7) (re- -8) (re — 9) _ ,

— ~I— 3.4. - a 6 .T" --

wobei also a-\-b—y und n eine ganze, positive Zahlist. Aus den leicht (nach jenen in §. 122) zu bildenden letz-ten Gliedern folgt, dafs diese Reihe immer nur so weit fort-gesetzt werden darf, bis y den Exponenten o oder 1 er-hält (die Entwickelung hat nämlich, je nachdem re gerad

oder ungerad ist, - 4- 1 oder —2l-l2 1 2

Glieder).

§. 124. Aus der Ableitungsart (§. 120) folgt, dafsdas Binomialtheorem für jeden rationalen Exponenten Gil-tigkeit habe; um diese aber auch, des künftigen Gebrau-ches willen, für irrationale, ja selbst imaginäreExponenten zu erweisen, behandeln wir in der nachstehen-

*) Eine dem Anfänger, der dankbaren Beductionen wegen, sclirempfeblenswcrthe Übung.