den directen Ableitung dieses Satzes, den Exponenten voll-kommen als variable Gröfse.

§. 125 . Man setze i) (1 -j-a:)? = i + - 4 , x -f- A z x z ...A n x n -j- ..., wobei A z ,... von x unabhängige Coef-ficienten, also offenbar gewisse (eben zu bestimmende)Functionen vom Expon. y sind. Läfst man x um die ganzwillkürliche Gröfse z zunehmen, so erhält man auch:

2) (1 -(- x -|- zy — 1 Ai(x- 1 - z) -f- A z (x -)- z ) 2 -(- ...

+ A„ (x -(- z) n -)-...

Setzt man ferner in 1) — statt x, so folgt, wenn inan

gleich durchaus mit dem Nenner £ multiplicirt und hieraufz in z -{- i übergehen läfst:

3 ) (1 —z “|“^)^ zzn (1 —j— zy -j— (1 —f— zy 1 x

-f- ... +A n ( 1 -j -zy-»x n +...Aus 1) folgt aber, da A ^, A 2 ,... nur vom Expon.abhängen : (1 z)y = 1 -]- v/, z -(- A z z x -f- ..., (i-j-z )? -1cs 1 —j— F, z —j— B z z 2 -j—..., (1 —j— zy ,a es 1 —C-j z -j- C z z 2 -j-...etc., (1 + zy—”—' — 1 -j- Mi z -j- M. z z 2 -j- ..., (1 -f- zy~ n= i -|- N t z -|- N z z 2 -j- ..., so, dafs man also die Coeffi-cienten F,, C,,... JV, aus A ti jene F 2 , C Z ,..,N Z aus A zu. s. w. erhält, indem man beziehungsweise in A t , A z ,.,.A n (als Functionen von y) der Reihe nach y — 1, y- — 2 ,...y—n setzt. Werden diese Werthe in 3 ) substituirt, hier-auf die Entwickelungen 2) und 3 ) (als identische Ausdrücke)einander gleichgesetzt, und zugleich in 2) von den Poten-zen (die man, weil die Expon. ganze Zahlen sind, als be-kannt voraussetzen darf) nur überall die beiden ersten Glie-der, als für unsern Zweck hinreichend, entwickelt) so er-hält man die Gleichung:

1 -f- Ai x -J- A z x 2 -f- . . .

-f- Ai z -{- 2 A z x z -J- 3 A 3 x 1 z -|- . . . -j- 71 A n x n ~' z -j- . . .

•— 1 —j- Ai z -j- A z z 2 -{- .. . -j— Ai x (1 —|— Bi z —J— B z z 2 —j— ...)-f ^..^(i-fC, z-f C 2 s 2 + ...) + .. .

-(- x n ~‘ (i -(- Mi z M t z 2 -j-...),und daraus, nach §. 108, (da Ai, A.,... F,, B z ,.

.. etc.