82 =

Denn setzt man in dem obigen Polynom X (vor. §.)

x = — , so hat man für - ^ A m 4- 1 sofort:

y y

— >A, -

y n y n ~'

yn

-j- . . . -j- A n — I -[- A n

y

d. i. für y < . . . sofort: 1 > A,y + A^ 4-... -f A n y n ,

sljn -p 1

oder, wenn man mit j m multiplicirt, bei diesen angegebe-nen Werthen von j, auch:

y m > A i y m + l -}- A 2 y m + 1 -|“ • • • + y m + r ‘,wobei auch offenbar n — oo seyn kann.

g. 148. Lehrsatz. Erhält man aus dem PolynomeX der Gleich. X = o, für die 2 auf einander folgendenSubstitutionen x — a und x — b, Resultate mit verschie-denen Zeichen; so liegt zwischen a und b wenigstenseine (je nach Beschaffenheit von a und b reelle oder ima-ginäre) Wurzel dieser Gleichung.

Denn da X =/(a-) (§. i 45) e i ne continuirliche Funct.von x ist, so mufs f(x) bei dem Übergange von /(a) inf (b), d. i. vom Positiven ins Negative, oder umgekehrt,nothwendig (da hiery’(x) nicht Unendlich werden kann)durch Null gehen , so , dafs es also einen zwischen a. und bliegenden Werth a geben mufs, wofür f{a) = o wird ;dann ist aber (§. 144 ) x = a eine Wurzel der Gleichung/(*) = X = o.

§•149- Zusatz 1 . Da bei dieser Voraussetzung(dafs/(a) und/(£>) verschiedene Zeichen besitzen) f(x)bei dem Übergange von f(a) in f(b), oder umgekehrt, imAllgemeinen 3, 5 ,... 2 m-j-i Mal durch Null gehen kann,so kann auch überhaupt zwischen a und b eine unge-rade Anzahl-von Wurzeln der Gleich. X = o liegen.

§. 150. Zusatz 2 . Man sieht ferner leicht, dafs,wenn /(a) und /(&) einerlei Zeichen besitzen, zwi-schen a und b sofort 0 , 2 , 4 ,.,. 2 m, d. i, überhaupt eine