_ r am = -f- + . . • + — J* m

-j- (23,u* m — -f- 23 2 v jm - 2 + • • • + 23 Jm _,iOV/—>,wobei die Coefficienten 21,, 21 2 ,...2J,, 23,... durchausreell sind. Da es endlich immer reelle Werthe für vgibt, wofür der reelle Theil im zweiten Theile dieser Glei-chung verschwindet, indem diese nur aus der Gleichungu’ OT + 21, v 2m -' + 2h. m _,u — i» = o, welche (vo-

rigen $.) wenigstens 2 reelle W. besitzt , bestimmt werdendürfen ; so erhält für diese Werthe T 2m die Form Q Y ~— 1 ,wo Q eine reelle Gröfse bezeichnet. Dafür wird aber[Relat. n)] das letzte Glied 33, m = T’ m = (Q \f —i) J =— Q~der Gleich. I. wesentlich negativ, folglich besitzt diesefür die nämlichen erwähnten Werthe von v wenigstens 2reelle W. oj, wovon (vorigen §.) die eine positiv ist.

Da es also schliefslich [Relat. p)] für 10 = 3 * immerwenigstens einen reellen, positiven Werth gibt; so istauch dafür z ~ co = co eine reelle Gröfse, und we-gen j-= + - 5 un ^ x — J 4* 7 “I - v ( a *t* ß V '— 1 ) [De-

lationen m) , k) , q )| der Form nach: x = p -j- q Y '~- 1 ,wobei auch p und q re e.lle Gröfsen sind; d. h. nämlich,die obige Gleich, a ) besitzt wenigstens eine in der Formp q Y^ — 1 enthaltene Wurzel *).

§• 154. Zusatz. Fafst man das in den 3 letzten J.Gesagte zusammen, so folgt, dafs jeder hohem Gleichungohne Ausnahme wenigstens eine Wurzel, diese mag nunreell oder imaginär seyn, entsprechen mufs.

§• 155. Lehrsatz Ist x = w eine Wurzel derGleichung X = o, so ist das Polynom X durch x — 10theilbar.

Denn ist co eine W. der Gleich. X = o, so findet(§. i/(4) die Gleichung Statt: co n co n — 1 -}-^ 2 co' 1 ~ 1 -}- ...

co-j-X n = o ; bestimmt man also aus dieser Gleich.

: ) Riesen neuern Beweis hat der Verfasser zuerst in den Jahr-büchern des li. li. polyt. Institutes, Bd. XIX., behannt gemacht.