A n und setzt dessen Werth in das Polynom X, so erhältdie Gleichung X = o die Form:

(a" _ CO«) _j_ A i (x n ~ l — Cd"—) + A n -, (# 2 — CO 2 )

+ A „—, (« — co) s= o,unter welcher die Richtigkeit unseres Satzes unmittelbarerkannt wird*).

§. 156 . Zusatz. Theilt man wirklich, so erhältman , Alles wieder nach x geordnet:tf"— + -B, x '— 2 + ß 2 x”~3 + ... + 4- ß„_, = o,

dabei ist, wie man leicht findet: ß, = A t 4-co, ßj = A z4“ A^ co 4- co 2 , ß„ ■— A$ —J— A z co —|— A^ co“ 4“ co® , . . •ß«—i = A n —, -)- A n —, co -|- • • • 4" co “ — '• Es ist also, umes wiederholt zu bemerken:

X = (x -co) (x n —' 4- ßi X n —» 4~ B z X n ~ 3 4-. ..-f Bn—i) = o.

§. 157 . Leh rsatz. Jede Gleichung des n. Gradeshat n Wurzeln, und zwar weder mehr noch weniger.

Denn ist co, jene Wurzel, die der Gleichung X = o§. 154) nothwendig zukommt, so hat man (vorig. $j.)

X s= ( x —co,)(;£'*— 4- ß,«"- 2 4- ... 4- ß Ä _,) = o.Diese Gleich, wird aber nicht blofs für x — co, = o,woraus eben die genannte W. x = co, folgt, sondern auchfür X'= x n — 1 4- -Bi x n ~' t -J-.. • 4~ß«—• = ° befriediget. Istdaher wieder co 2 die W., welche dieser letztem Gleich,nothwendiger Weise zukömmt; so hat man eben so:

x' = ( x —co 2 )(^ n — 1 4- c,««- 3 4- • • • + C n -*) = o,

eine Gleich., welcher auf doppelte Weise, ein Mal fürx — co 2 = o (woraus eben .r=co 2 folgt) und dann auch für

*) Scharfsinniger noch ist folgender Beweis: theilt man X durchx — co und die Division geht nicht auf, so wird der Quo-tient X' eine ähnliche Funct. von x wie X seyn , dagegender Rest jR, nach der Natur der Division, kein x mehrenthalten, und man hat X = (x —w)A'+ R- Setzt mannun x — v>, so wird, da u eine AV. ist, X=o, und manerhält daher o = o -f , d. i ßrro, und zwar, da R vonx unabhängig ist, nicht Idols für x — a, sondern überhaupt’ für jeden Werth von x.