X"= x n —‘ l -f- C j a*— 3 C n -i — o Genüge geleistet

wird. Bezeichnet man defshalb die W., welche diese letz-tere Gleich, haben mufs, durch to 3 ; so ist eben so

X"= (a OJ 3 ) {x n ~ 3 -j- D l X n ~~$ —J— ... —f— Dn— 3) = O.

Werden diese Schlüsse fortgesetzt, so erhält man, da■zuletzt statt dem Polynom nur noch ein Binom als Quotiententsteht: X( n ~ 2 )'= (x — to„_,) (a -f- Q) =» o , so, dafs ausa-|-<? = 0 sofort die letzte W. x = — <? = co„ hervorgeht.Man hat daher endlich durch die stufenweise Substitution:X = (a—fcj,)X'= (a— io 4 ) (a— to 3 ) X"

= (a — cj,) (a — cjj) (a — co 3 ) X’" r

u. s. w., und zuletzt:

y) X = (a— (i) t ) — co a ) (a—co 3 ) . . . (a — 10,,) = o,

aus welcher Darstellung nun auch unmittelbar folgt, dafserstlich jede der n Gröfsen co,, co 2 , statt a gesetzt,

die Gleich. X = o befriediget, also eine W. derselben ist,und ferner, dafs es aufser diesen keine andere W. mehrgeben könne.

§. 158 . Zusatz. Sind also co,, , to 3 ,...o„ dien Wurzeln der Gleich. X = o; so läfst sich das Polynomderselben durch X = (x— to,)(a— tOj)(a— « 3 )...(a— co„)darstellen*), also in n einfache Factoren von der Forma-|-p, oder, wenn man will (für den Fall, dafs p ein Bruchwäre), a -|- bx zerlegen. Ist n gerade, und nimmt man

immer 2 einfache Factoren zusammen, so entstehen - qua-

2 2

dratische Factoren von der Form a -j- bx ca 5 ; fürn ungerade hingegen erhält man —-— quadratische undeinen einfachen Factor.

So hat z. B. die Gleich, -J-a s —7a- — a-|-6 = o die W.a = -f- 1, — 1, -j- 2, -— 3 ; also ist: ’ 18 ^ **

a* + a^— 7a-—a + 6 = (a—i)(a-j-i)(a— 2 )(a-{- 3 )r= (a 2 — 1) (a 2 -j-a — 6)=s (a 2 — 3 a + 2) (a 1 3 ) u. s. w.

■- " -r - 1 -o rr

*) Nach dieser Darstellung ist cs ebenfalls, leicht die Sälee iߧ§. 148—1S0 *u erweisen. !...<■>. “