Um das l'olynom 12a -3 16.t'- — 3 .r— 4 in Factoren zu z.er-legcn, bildet man die (sogleich geordnete) Gleichung

x * + \x- — — f = o,

und da die W. dieser Gleich, sind: x = i, — 7, —y; so folgt• r3 + 7 x 2 — i x -— 7= (.r — 7) (.r -f- l) (x + |) , oder , wenn mandie Brüche wegschafft:

12a: 5 -j- i6x- — 3 a: — 4 = (ix — 1) (2a: + 1) ( 3 a: + 4 )-

§■ 159 . Lehrsatz. Ist p- f-<7 \/—1 eine Wur-zel der Gleich. X — o, so mufs auch der conjugirte Werthp — q \f —1 eine W. dieser Gleich, seyn.

Denn setzt man in X — x n -J- A, x n ~' -|- . . . -j- A n ,x = p + 9 V— 1; so erhält man, nachdem sowohl die re-ellen, als auch imaginären Theile für sich zusammen genom-men worden, einen Ausdruck von der Form P-\-Q\f —1,wo P nur gerade und nur ungerade Potenzen von qenthält. Setzt man ferner im Polynome X, x = p — q\f —1;so ändert sich durchaus nichts, als, da man nur —q statt+ q zu setzen hat, das Zeichen von Q , und man erhält alsResultat dieser Substit.: P ——1. Ist nun p-\-q \/—1eine Wurzel der Gleichung X — o, so hat man ($• 144)P -)- Q — i=o, di. (indem diese Relat. nicht andersbestehen kann) P = o und Q \/— 1 =0, woraus durchSubtraction auch P — Q \^—1 =0 folgt: es bringt alsoauch die 2. Substitution, nämlich x = p — q \f — 1, dasPolynom X auf Null, folglich ist auch dieser Werth von xeine Wurzel der Gleichung X = o.

§• 160 . Zusatz 1. Da also die imaginären Wur-zeln einer Gleich, immer paarweise und conjugirtVorkommen, so entspringen aus jedem Paar die einfachenFactoren a: — p — q \f — 1 und x — p q V — 1 , welchezusammen den quadratischen Factor (x — p) 1 -j- ■q ' 1 geben;es kann demnach das Polynom einer jeden höhern Gleich,in lauter reelle quadratische Factoren von der Formx* ,-j- ax_ -J -.4 .aufgelöst werden, wozu für eine Gleich,von ungeradem Grade, noch ein; ebenfalls reeller, ein-facher Factor kommt. ",! 9 ’