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§. 161. Zusatz 2 , Da ferner die quadrat. Facto-ren, also auch ihr Product, 'wesentlich positiv ist; sohann das Polynom einer hohem Gleich, von lauter imaginä-ren W. für gar keinen reellen Werth von x negativwerden.

§•162- Eigenschaften der Coefficienten.Vei’richtet man in y) $. \ 5'] die Multiplication mit den n Bi-nomial -Facloren und ordnet das Ganze nach fallenden Po-tenzen von x , so erhält man :

5) X = x n — x n ~ l -|- C x x n ~* — C 3 x a ~* -f- (— i )“ C n ,

wobei die Coefficienten C,, ,... nachstehende Werlhe

haben : C, — to, —|— co 2 —|—... co„, co;.—j—w, co 3 *

*4“ u i -j— CO, -j- . . . C 0 2 10 „ -j- etc. -j- tO n —l W„,

C 3 = w, co 2 co 3 -j- etc. -j- CO„_, OJ„_, co„ u. s. w., C n = t*>, co 2 to 3 . . .to„_, co„, so, dafs also C, die Summe der Wurzeln oderdie Summe ihrer Combinationen zu i , C 2 die Summe ihrerCombin. zu 2 u. s. w., C n die Summe ihrer Combin. zu n,d. i. ihr Product, bezeichnet.

§. 163- Zusatz. Fehlt also in einer hohem Gleich,das 2 . Glied, so mufs die Summe der positiven W. jenerder negativen W. gleich seyn. Fehlt das letzte Glied ( A „),so mufs wenigstens eine ihrer Wurzeln gleich Null seyn.

An merk. Sind die sämmtlichen Wurzeln einer Gleich. X=onegativ, so besitzt das Polynom X=. (x -f- u,) (x -f- u,) ...(x nur positive Coefficienten.

§• 164. Lehrsatz. Ändert man in der Gleichung.X = o die Zeichen des 2 ., 4 .,... d. i. jedes in geraderStelle stehenden Gliedes; so verwandelt man dadurch dieGleich, in eine andere, welche die nämlichen Wurzeln, abermit entgegengesetzten Zeichen besitzt.

Denn setzt man, um die Zeichen der Wurzeln zu än-dern, in X=.o, statt x , ■— x ; so erhält man , für n g e-rad: x n — x n ~ 1 -\-A i x n ~ 1 ‘ — ...-\-A n =-0, und für nungerad: — x n -j- A x x’ l ~ 1 —...= o , oder, wenn