b.

bri

Gleich. X —|— X, cc —|— ,. -j- a n —_ C n -J— C n —, & -{-* . . -j- , und

daraus ($. 108 ), da X, X,, . . C n , C„_,, . . von a unab-

hängig sind: X = C n — ö, b z . . (die urspr. Gleichung),X . X , . X

£7

Besitzt nun die gegebene Gleich. lao m gleiche YY ur-zeln, und zwar io, = io* = . . = to m =3 <z, so ist auch

b t =s Z>i = . . = b m , und man hat X = 6“ • . £>« und

.X, G/j 1 ■ —— —|— t— —[— . ■ —j— -— U. S. W.

1 b., 1 (}«

^. = ' 1 - +

X

a.

_X_ . . _

* bm- |-i

X, = m b™--' b m y 1 . . 6« -f- ö” ! etc.

+ j-, . . 6„_,,

woraus sofort folgt, dafs die beiden Polynome X und X,als gröfsten gemeinsch. Divisor den Factor 6™—* = (a.— a) m ~ 1besitzen. Besäfse die obige Gleich. X'=o aufserdem nochp W. jede — b, so würde man eben so finden, dafs diebeiden Polynome X und X, als gröfsten gern. Factor denAusdruck (a— a) m ~' (a— b~)P~' haben, u, s. w.

§. 175. Um also zu untersuchen, ob die GleichungX=o gleiche W. besitzt, leite man (§. 1 4-5 5 Anm.) aus Xdas Polynom X, ab, und suche zu X und X, den gröfstengemeinsch. Divisor ; ist dieser, in einfache Factoren zerlegt,von der Form (a — a)'™(a — ö)P(a-|-c) r . . ., so enthältdiese Gleich, die W. a rnMal, jene b je Mal, die W. —crMal u. s f.; findet man keinen solchen gern, Divisor, sohat die Gleich, auch keine gleichen Wurzeln.

So ist z. B. für die Gleichung a 3 — a 3 — 3a- -j- 5a —2 = 0 :X =z x* — .r 3 — 3a- + 5a — 2 , X l — 4a -3 — 3a- — 6a + 5; und daman zwischen X und X, als gröfsten gern. Divisor a-— 2a -j- 1=s (a— 1 )- findet, so enthält diese Gleichung die W. a=i3 Mal j und in der That, die \Y. dieser Gleichung sind: 1 , 1 , iund — 2 .

Cu bische Gleichungen.

§. 176. Da sich ($• *69) ans jederGleich. das 2 . Gliedwegschaffen läfst,, so können wir zur gröfsern Einfachheit