= 99

die aufzulösende cubische Gleich, in der Form voraus-setzen : 1 ) x 3 -{- p x -j- q =. o.

Um diese Gleich, aufzulösen, setze man 2 ) x—y-\-z',so geht sie über in: j 3 -)- s 3 -j- (3 yz -j-p) x -f- q = o , undwenn man, um j und z zu bestimmen, nebst der vorigenBedingungsgleich. 2 ) noch die folgende : 3/s -\-p = o, wor-

folgt, annimmt, auch: 4 )jK 3 'j-- z; 3 4 -q — o

oder y-

d. i. y 4- qy

woraus

3

sofort j

Aus 4 ) hat man

z 3 — — q — j 3 , oder wenn man für j 3 substituirt und die

^V'-y Vi+

— . Es folgt also

•\n ö

W. auszieht

endlich aus 2 ), von den doppelten Zeichen nur die obernbeibehaltend, indem die untern dasselbe Resultat geben:

VC-I+v^+d

+ ÜT-!-V^+£|.

welcher Ausdruck unter dem Namen der Cardan’schenFormel bekannt ist.

§. 177- Setzt man Kürze halber

A und

so geht die Formel 5) in 7 ) x —VAyYB über. Um nun

zu sehen, wie diese Formel die sämmtlichen 3 W. der Glei-chung 1 ) enthält, bemerke man, dafs die 3 Cubikw. aus a 3

(— 1 'Y" — un< ^ ß (—■— ~ —4) *)» oder für

3

*) Setzt man nämlich \Jai = x, so folgt .r> — a 3 = o, und dax — a eine W., also (§. 1 55) x* — <z 3 durch x — a theilbarist; so erhält man noch x- -J- a cc a 7 - = o, und daraus die

3

beiden übrigen oben angegeb. imaginären W. von qa^.