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— 1 -fy/—3) = c* auch: a, aa, a z a. Versteht manalso unter VA die gewöhnliche, reelle oder arithmetischeCubikw. aus A‘, so sind die 3 Wurzeln von yA sofort:

3 3 3 .

i .y A, ay A, a z y A. Auf die nämliche Art hat man für

die 3 Werthe von \f B: i.yB, a\^B, da nun aber

[vergl. 2 ) und 3)] wegen yz — — lL in 6) für y A und y B

nur jene Werthe genommen werden dürfen, die zusammenein reelles Product geben; so sind für x nur folgende 3Combinationen möglich oder brauchbar:

8 ) x i =i.y r A-\-i.y r B, x ~ =fc a y A -j- a- y Bund x 3 =z a 2 y A -j- a B,

welches zugleich die gesuchten 3 W. der Gleich. 1 ) sind.

§• 178 . Um zu untersuchen, unter welchen Bedin-gungen die vorigen 3 W. der Gleich. x 3 -)-pa:-(-( 7 =:o, inwelcher p und <7 positiv oder negativ seyn können , reelloder imaginär ausfallen, mufs man die 3 Fälle unterschei-

(l- m t i

den: 1 ) wenn - —^> 0 , 2 ) = o und 3) < o ist. Man4 27

bildet durch diese Discussion [I, io5], dafs im 1 . Falle dieW. ar, reell, die beiden übrigen imaginär sind; dafs im2 . Falle alle 3 W. reell sind und dabei x z —x 3 ist, und dafsendlich auch im 3. Falle die sämmtlichen 3 W. reell ausfal-len, obschon sie in der Cardan’schen Formel unter einerimaginären Form erscheinen, wefshalb man auch diesen denirreduciblen Fall genannt hat.

Auflösung der cubischen Gleichungen mit-telst trigonom. Functionen.

§, 179 . Für den 1 . der im vorigen §. angeführten3 Fälle setze man, wenn a) der Coefficient p positiv ist,

m) IW'E- = lang f und \/Lang ~ Lang ib, wo y und ^

q V 27

zwei Hilfsw. bezeichnen; so erhält man für die Gröfsen Aund B in §. 177 , b), nach einigen leichten Reductionen: