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the o, j , 2, . . G und o, — 1 , — 2 , . . — G, und be-obachtet die dadurch in X entstehenden Zeichenwechsel;ändert nämlich X für x=.a und x = a -j- i sein Zeichen, soliegt (§. 14B) zwischen diesen beiden Zahlen a und a- j-1wenigstens eine reelle W. Bei diesen Substitutionen hatnun entweder das Polynom X sein Zeichen Ä) so oft Mal ge-ändert, als der Ordnungsexponent n der Gleich. Einheitenhat, d. i. es haben sich die sämmtlichen W. der GleichungXz=o verrathen, öderes findet dieses B) nicht Statt; beidediese Fälle sollen besonders behandelt werden.

Ä) Wenn sich eben so viele W. zu erkennengeben, als n Einheiten besitzt.

§• 202 - diesem Falle liegt zwischen zwei sulchenauf einander folgenden Substit. x~ a und x = a- j-i, die inX einen Zeichenwechsel bewirken, nur immer eine W.,und man kann diese durch einige Zwischensubstitutionensehr leicht zwischen zwei, höchstens um von einanderabstehende Grenzen einschliefsen. Liegt also die betref-fende W. bereits zwischen a und so setze man

x = <L -|— y , wobei nuny<-^ ist; man erhält durch dieseSubstitution in X=zo (§. 1 45 ) :

x + + • • + x n— >X n ~‘ + ? n = °)

dabei die Polynome X, X, , . . so verstanden, dafs überalla statt x gesetzt wird. Aus dieser Gleich, folgt, wenn man,da es sich nur um einen Näherungswerth handelt, die ho-hem Potenzen vony vernachläfsiget: X-j- X i j = o oderx x

a) y =

Diesen Werth für y in x=za-\-y substituirt, erhältman (im Allgemeinen) für x schon einen etwas genauerenWerth, welchen man für a gelten läfst und damit aus der-selben Formel a) ein noch genaueres j berechnet, wodurchauch das neue x-=a-\-jr dem wahren Werthe wieder nä-her gebracht wird, u. s. w.

So findet man z, B. für die Gleich, .r 5 — 5x — 3rzo sofort:

0 = 3, G' = 2 , und für x= — 2 , — 1 , o, -j- 1 , 2 , -|-3