I

XI.

Gleichungen mit ?nut Unbekannten.

§• 208. Erklär. Die allgemeine Form einer Glei-chung des n. Grades mit 2 Unbekannten x und y ist:

P 0 x" -f- P,* 1 — + P 2 *'»-* + . . . + P n -,x + Pn = o,wobei P 0 , P, , ...P n algebraische Functionen von jy, jedochbeziehungsweise höchstens vom o ten , i ten ,... n te " Grad, be-zeichnen, also die Form haben: P 0 = a, P, = b -j- cy,P% = d -(- ejy +/jr 2 u. s. w.

§. 209. Es seyen nun die beiden GleichungenP 0 x n -j- P, a .-“—' 1 -f- . . . -j- P„_, a 4 - P n = o = o],

P> m + f> m_I + • • • + P 'm-I x + P 'm = 0 IX = °]

beziehungsweise des n. und m. Grades, die wir Kürze hal-ber durch A — o und A—o bezeichnen wollen, zur Auf-lösung gegeben. Um die sämmtlichen Auflösungen, d. i.alle Paare zusammengehöriger Werthe von x und y zufinden, welche gleichzeitig die Polynome A und Ä aufNull bringen; so sey xtsza, y==ß eine solche Auflösung.Stellt man sich vor, dafs in P 0 , P, P', P' ,... für rbereits dieser Werth ß gesetzt worden; so müssen die Po-lynome A und Ä (§. i55) den gemeinsch. Factor x — abesitzen, welchen man auch in der That nach der bekann-ten Yerfahrungsweise unter dieser Voraussetzung findenwürde. Eben so würde man, wenn x = d, y = ß’ eine2 . Auflösung unserer Gleichungen bildete, und in P 0 , P,,...P„, P' 0 ,...y = ß’ gesetzt worden wäre, durch dieses Ver-fahren in A und A' den gemeinsch. Divisor x — d findenu. s. w.

§ 210- Da man aber die Werthe von y = ß, ß',...nicht im Voraus weifs, so wird man, ohne eine voraus-gegangene Substit. in P 0 , P, u s. w., zu A und A' dengröfsten gemeinsch Divisor aufsuchen, und, da dabei dieReste in Beziehung auf ,r nach und nach immer von nie-drigerer Ordnung werden, den letzten Rest, welcher kein