129

der ursprünglichen Reihe. Es ist nämlich: A'a 2 — A'a,= A' (A'äp) = A 2 a 1 u. s. w. A^n-pi — A’a„ = A 2 u*.

Auf diese Weise erhält man die zweite Differenz-reihe A ’ i a 1 , A J a 2 ,... A 2 a„,... aus welcher nach derselbenVerfahrungsart die dritten Differenzen gewonnen wer-den u. s. w.

§. 225. Sind die ersten Differenzen einer Reihe,d. i. A l a lf A‘a 2 ,... einander gleich; so heifst die Reiheeine arithmetische, und zwar der ersten Ord-nung. Eben so wird die Reihe eine arithmetische der 3 ,,

3.. ... m. Ordnung genannt, wenn beziehungsweise erst die

2 ., 3.,... m. Differenzen derselben einander gleich sind.

§•226. Aufgabe. Eine beliebige Differenz ir-gend eines Gliedes der gegebenen Reihe a,, d. i.

£i m a„, zu bestimmen.

Au fl. Zufolge des $. 223 ist

A‘a„ = a«-p. — a n = (—— a n +i).

Nach §. 224 : A l a n — A’an-p, — A l a n = a„-p a — a„-p,— (a n+1 — a n ) = (— 1 Y (a n — 2 a n+ , -|- a„ +J ).

Weiters: A= A’Un-p, — A 2 a„ = A'a n -p, — A*a n -p,(Abi/i-p, —— A—■ ^AVt/i-p, A*UnJ

: &rf-p3 ^n-p 2 n-p, ' Un-p*) "~f™ U/i-pl a n

— (— i ) 3 ( a « — 3a„-p, -f- 3a„-p, — a„-p 3 ) u. s. w.

Setzt man nun nach diesem GesetzeA"‘a„ = ( i) OT [a„ ^ j a„_p, -(- ^ 2 j « n -pi — 4-.• + «n-p»«] (I

so findet man leicht durch höhere Induction [I., i()4] dieallgemeine Giltigkeit dieses Gesetzes für jede ganze positiveZahl m. Zugleich lassen sich auch aus dem Gange dieserEntwickelung die nach dem nämlichen Gesetze gebildetenAusdrücke für A m a n , durch die m — 1 . oder in — 2 . Diffe-renzen u. s. w. ausgedrückt, ersehen.

§• 227. Aufgabe. Das allgemeine Glied a n einerReihe a,, a z , a 3 ... durch das 1 . Glied a, und durch dieDifferenzen von a, auszudrücken.

Uurg’s Compendium d. höh. Math.

9