= 136

Da aber die Coefficienten t,, von n unabhän-

gig sind; so hat man nach dem Satze der unbestimmten

(m -f- i ) m

Coefficienten: (m -j- 1) t, = 1 ,

(m -f- i) m (m —1) m (m —i)

ti-(- m t.

1

m

l

u. s. w., und dai’aus : f,

m (m — i) (m-— i)

, t 0 = o u. s. f.

120 ,2 . 3

Mit diesen Werthen erhält man endlich aus der obi-gen Gleichung i):

2) f(n m )

Anmerli. l. Die in dieser Entwiclielung vorliommenden Zah-

len 3^. 4^) 3V etc., mittelst welchen man in dieselbe

ein einfaches Gesetz hineinbringt, lieifsen B e r n o u 11 i seheZahlen [I., 212].

Anmerli. 2. Mit Hilfe dieser Summenformel f(n m ) lassensich auch lleihen summiren, deren allgemeine Glieder dieForm A Bn -j- Cti 1 -f- . . , besitzen. Denn wäre z. B.a n — A -J- Bn -)- Cn 2 das allgemeine Glied einer Reihe, sowären ihre Glieder : a i — A B C, = A -)- 2JS -j- 2 2 C,

a 3 — A -\- 3 B 3 -‘C u. s. w., also ihre Summe :

a i + a i + a i + • • • + an tz. nA -J- B (1 —2 —J— ..

+ C(l*+2 2 -j-J-/»"-).

oder wegen n = f(n°) (weil nämlich f (n°) = 1 -f- 1 -J- .. .-f-1 —n ist), 12+ •••+« =/(«') und 1 2 —|— a - —...-f- ri l — f (n 2 ) , auch: f(an) —f(An° -(- Bn + Cn”) = A f(n°)+ B f(n) -j- C /(«*) ; woraus zugleich noch folgt, dafs dieSumme eines Ausdruckes von dieser Form, nämlich f(An°-f- Bn -(- Cn-), aus der Summe eines jeden einzelnen Gliedesbesteht, und die constanten Factoren vor das Summenzei-chen f zu setzen sind.

Beispiele. Setzt man in dieser Formel 2) nach und nach m — 1,2 , 3 ,. .. so erhält man :

n (n- j- 1 )(2n 1)

n(n+ 1)

«- («+ i) :