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II. Zerlegung rationaler ganzer Functionenin Partialbrüche.

§• 247. Da sich jede unecht gebrochene Functionimmer in eine ganze und eine echt gebrochene Functionauflösen läfst, so können wir bei den folgenden Entwick-lungen immer echt gebrochene Functionen voraussetzen.

So zerfällt z. B. die unecht gebrochene Functioni -f- a — 5a; 2 -J- 6a' 3y i -f- ix -2J J

durch die Division, bei welcher man zuvor Zähler und Rennernach fallenden Potenzen von a geordnet hat, in die a Theile :

5+ i3a

— ( 2 3a) als ganze, und ^ ^^ als echt gebrochene

Function (erstere kann sich auch auf eine constante Gröfse re-duciren).

§. 240. Um die echt gebrochene Function

Z _ «, + «o X +.. + an x n — 1JY pi -f* P 2 a -p . . --j- Qn-\-i x nin Partialbrüche zu zerlegen, mufs man zuerst den NennerN nach $. 24 b in seine einfachen Factoren auflösen. Je nachVerschiedenheit dieser Factoren aber sind nachstehende, inden nächst folgenden erörterten Fälle möglich.

A. Die einfachen Factoren des Nenners N sindsämmtlich ungleich und dabei

a) reell.

§. 249* Sind in diesemFalle a, — Z>,a, a 2 — b z x, . .a n — b„x die nach $. 246 gefundenen Factoren von N', sosetze man

N

A,

+

A„

+ • • +

An

-b l x 1 — b % x 1 1 a n — bnX ’

befreie diese Gleich durch Multiplication mit N von denBrüchen, ordne Alles nach Potenzen von a, und bestimmeendlich nach dem Satze der unbestimmten Coefficienten,welcher hier n Gleichungen liefert, die unbekannten Coef-licienten A iy A., . . A„*