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§■ 25H- Um die zunächst auf die vorige Form fol-A l -f- A, x

•rcnde JBruchfunction

auf die einfachste Art

D ' a l -J- ein x -|- a 3 x-

in eine recur. Reihe aufzulösen, setze man, in Gemäfsheitder vorigen Anmerk., da der Zähler sich bis x erstrecktund der Nenner aus 3 Gliedern besteht:

A , A*> x

— IT - + ^ + • •

<»1 + *2* + «3^

-f- tn x* -j- a,"+‘ -{- f n + 4 a.'“+* + • •*

so erhält man:

A 1 -f- A z x = A, ^t, <z, 4 - —- a^ x -j- ..

-j- (bi-J-2 a i tn-(- i a z + ln ^3)

und daraus

z x

“j“ “ a z — -^2 ) • • G+a a l 4" ln+i a z 4" 1 “ a i -- 0 )

also für das im 3. Glied anfangende Gesetz der Bildung :

, _ a , “ 3 ,

wz- 4 -a — “ *« 5

* n 1 n

nach welchem, wenn aus der i. Gleich, t, bestimmt ist, t 2 ,t 3 , . . leicht gefunden werden. Da hier die Relationsscala

— «2 — <H zwe £gi£ e cler*ig ist, so heifst die entstehende

R. eine recurrirende der zweiten Ordnung.

So hat mau für die Bruchfunction-;-, diese

— 2 x -J- x-

— — 7 "I” 9 ^ "b • ‘ “b tnX n -|- tn-j-i X n ~V l -j- f/i-j-* -f- . .

gesetzt, wenn man mit dem Kenner multiplicirt:i — -ix = i + (—2t,— '-)x + . .

*b (- 2 tn-\-z “]™ trc-f 1 *b ^ K ) X n ~{~* “b . . ,

und daraus

— 2 f, — T = — 2 , also f, = j;

■ 2fH-p» -f- fn-|-i -f- i; Oj also "b t n ) »

d, h. vom 3. angefangen , ist jeder folgende Coefficient gleichder halben Summe der beiden nächst vorhergehenden $ mithinist endlich die lteiho selbst:

1 —i 3 i

_ % ^_ X -{-x- ~ — ^ + T- r + 7 •*' 1 + 7? + • •