Funct.

eine recur. Reihe der d r i t-

§• 257- Auf die nämliche Art erhält man aus der

A l + A, x + &

a j + a z x-j- a z x--\- a A x3

ten Ordnung; die Scala ist dreigliedrig, und das Gesetzder Bildung der Coefficienten fängt, wenn nicht etwa A 3 — oist, erst im 4 . Gliede der Reihe an.

3 — ix -4- x z

So findet man für die Bruchfunction

diese

1 -f- —• 2a; 3 ’

= 3 + t x x -f- t 2 x 2 + * * + tn X n -|- fn-j-l a.-"+‘ -j- tn-j-a X n -\-*+ fn-j-3a :' ! + 3 -1- . . gesetzt (weil sich nämlich der Zähler bis x"erstrecht, und der Nenner, das fehlende mit gezählt, aus 4 Glie-dern besteht) und den Nenner wcggeschafft: (,-(-6 = — 2 ,t 2 + 2f 1 = 1 , • . f*+3 + 2 fn-j-a •— 2 f„ = O , also t , == — 8 , f 2 — 1 7und (als Gesetz der Bildung) fn-j -3 = 2 (f n — fn-j-a) (die dreiglied-rige Relationsscala ist: — 2 -j-o-J- 2 ), so, dafs also vom 4- an-gefangen, jeder folgende Coefficient gleich ist der zweifachenDifferenz aus dem dritt- und nächst vorhergehenden Coefficien-ten. Man hat daher endlich :

3 — 2 .r-|--r-

'i+ix—tx* = 3 — 8x + '7 xZ ~ zSxz + 40*4 — 46*3 + ,

§. 258. Ohne diese Entwicklungen noch weiter fort-zusetzen , ist es ersichtlich, dafs man auf dieselbe Weiseaus der gebrochenen Function

(^i~ \-A,.x -(- . . -j- A n x n ~') : (a, -|- a 2 x -)- . . -]- a n -{-i a: ra )die recurrirende Reihe der n. Ordnung entwickeln kann.

§. 259. Ist umgekehrt die recur. Reihe t, -J- t 2 x-J- t 3 x z -}- . . nebst dem Gesetze ihrer Bildung, z. B.

* — B * C t

In+a - ~2 *«+» ^ *« >

ß c

oder der Relationsscala — — — gegeben ; soläfst sich dazu

die gebrochene oder erzeugende Function sehr leicht finden.Denn aus der gegebenen Relation folgt At n -\-*—

-f- C t n = o, und daraus unmittelbar (mit Rücksicht auf diedas Bildungsgesetz darstellende Relation und den Nennerder Bruchfunction in (J. 256) der Nenner der gesuchtenFunct.: A — Bx-\-Cx l . Setzt man daher, unter der ste-ten Voraussetzung, dafs die Funct, echt gebrochen sey,