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schreiben lassen. Aus diesen beiden Gleich, erhält man ganzeinfach durch Elimination : a 2 = —ja i , a 3 — — und da-mit aus den beiden ersten der vorigen Gleich.: A t =— h a \und A 2 — ja i — - a 2 = j a, + ja, = a, ; folglich fürdieerzeu--T a i + a i' r . . \—ix

gende Function :

pa, x— 7 a, x 2

, d. i.

-1 x x 2 ’

im vorigen Paragraphe. [I., 253.]

§. 261. Bilden die Coefficienten einer recur. Reiheeine arithmetische Reihe irgend einer Ordnung, so läfstsich durch eine einfache Transformation die erzeugendeFunction auf folgende Art finden.

Es sey S = A 11 x -f- t 2che Reihe ; man setze x

+ 1 '

'■ -j- . . -J- tn x n eine sol-so wird (§. 255)

- z 4 + .

. X = z - Z* + S 3 - -

und nach $§. i 14 , i i 5 etc.:

X- = Z 1 - 2Z 3 -J- 3z 4 — 4s 5 -j- .

x 3 = z 3 — 3z 4 -(- 6z 5 — i oz G -j- , .,

X 4 = Z 4 - 4z 5 -j- 10Z G - 20Z 7 -|- . . u. s. w.

Man erhält also mit diesenWerthen aus der gegebenen Reihe:S = A -j- tj z -}■ 62 — fi)s 2 -J- (t 3 — 2 t 2 -|- tj) z 3

-f- ( f 4 — 3t 3 -j-3t 2 — fi)s 4 -f- . .

oder (J. 226 ):

S = A -f t, z -f A 1 f, z 2 + A 2 t, z 3 + A 3 1 , z 4 -f- . . ,

X

und da aus der oben angenommenen Relation z = ---

folgt, endlich:

eine Reihe die immer abbricht, wenn, wie vorausgesetztwurde, t,, t 2 , t 3 , . . eine arithmetische Reihe bilden.

1. So ist z. B. für die recur. R. 3 + x -j- 2x 2 + 3 .r 3 -f- 4^ +..

+ -sofort A = 3 , t,zzi, A*f, = 1 , A"f, = 0, A 3 f, — o

x . x - 3 — 5 x -j- 3x 2

u. s. \v., also S = 3 +

+

-X ' (1 -X)- 1 - 2X-j-X 2

2 . Auf gleiche Weise findet man für die recur R. 1 l\x+ i5x- 4ox 3 -j- 85x4 + i56x 5 + • • wegen A — 1 , f, = 4>