155

A 1 f,= n, A-f,= i4, A 5 f, = 6 (alle folgenden Differenzen sind

Kuli) sofort:

S =

_ i + 5-f 2 _

i — 4^r + 6' r ' — 4' r3 + - r4 "

§•262- Um zu untersuchen, ob eine vorliegendeReihe eine recurrirende sey, und in diesem Falle, ohne einsonstiges Beslimmungsstüch , die erzeugende Function zulinden, dienen folgende Betrachtungen.

§• 268- Ist die recur. R. S von der i. Ordnung , so

ist der Form nach S =-—-, daher — = —4— ■—— a?;

a, + a„ x ’ A A , 1 Al

tlieilt man also die Einheit durch die recur. R. erster

Ordn., so entsteht ein Quotient von der Form p -j- qx.

S =

§. 264- l st die recur. R. von der 2 . Ordnung, also

A t A 2 x

so folgt

a } + a 2 x + «3 X" ’

ct, A t a 2 -—■ A^a-i . A\ ct 3 — A.,(A,a z

Ai ' A\ X ' Al (A t -f- A, x)

A 2 ai)

dabei rührt der lelzte in x 1 multiplicirte Bruch, welcher,wie man sieht, eine recur. R. der i. Ordnung erzeugt, vondem Reste S' her, welcher geblieben ist, nachdem man imQuotienten bereits 2 Glieder p + qx gefunden hat. Da

nun. auf diese Weise p q x —— o: 1 und ~ eine re-S iS O

cur. R. der i. Ordnung ist; so mufs nach dem vdrigen §.

g

— einen Quotienten von der Form p'-\-q x ohne Rest geben.

§• 265. Durch Fortsetzung dieser Schlüsse gelangtman nun zu folgender Regel: Um zu untersuchen, ob dieReihe S = t, -{- t 2 x -f- f 3 x 2 -(- . . eine recurrirendesey, theile man die Einheit durch diese R., setze aber dieDivision nur so weit fort, bis man im Quotienten 2 Glieder,p qx und demnach einen Rest S'x 2 , wo S' wieder dieForm t\ -j- t\x t[x % -(- . . besitzt, erhalten hat. Hier-auf theile man eben so S durch S' , bis man im Quotienten2 Glieder p -j- q x und denRest S"x 2 , wo S'ist, erhalten hat. Unter denselben Bedingungen theile man