ferner S' durch S", S" durch S'" u, s. w. Gelangt mandurch dieses Verfahren endlich zu einem solchen zwei-gliederigen Quotienten ohne Rest, so ist S eine recur-rirende Reihe, und zwar von der m. Ordnung, wenn dieletzte Division in der Reihe die m. war. Gesetzt, es gehedie dritte Division auf, so, dafs man hat:

1 . , S'

g =P +

S_

S 7

p q x —|— ••£*

— = p -f- q

so ist

S" _ i £ _ (p + q'x)(p" -f q". r) -1- x~

S' p" -j- q"x ’ &' p" q" x ’

j_ __ (p + qx)(p -f q 'x)i p" -f q"x) + (p -f qx -f- p" -f c/'.r) x*S (p + q'x)(p" -f q"x) + x- ’

und endlich der Form nach:

S —

A 1 -f x-

a i ”1* a z x -j- a 3 x- -|- ar*

die erzeugende Funct., welche sofort eine recur. R. derdritten Ordnung liefert.

So ist z. B. für S =—— ^ x ^ x - -j- x$ -|- ■— -j-,.

sofort i = - 2 —+ S' = | +±* + $ ** + f| ** + ..

g

und —7 =— T'f‘T a: , ohne Best; cs ist also die gegebene Reihe

eine recurrirende, und zwar der 2. Ordnung. Um dafür dieerzeugende Function zu finden, hat man

S' 5 i Sx - 2 — x — x-

S -1 -{-ix’ S 2 , _J_ jx .— l -J-2 x ’

also endlich S =

1 — ix

— 1-\- x -\-x-

(vergl. Bcisp. im §. 256 ).

Anmerk. In der Anwendung kann es öfter vortheilhaft seyn,Reihen, welche keine recurrirenden sind, näherungsweisedoch als solche anzusehen, und dazu die erzeugende Funct.zu suchen. Diese werden (vorausgesetzt, dafs sie conver-giren) der Wahrheit um so näher kommen, von je höhererOrdnung man die recur. R. annimmt. [Die Entwicklung desallgem. und summat. Gliedes findet man I., 261 —266 ]