nur auf den numerischen Werth ankömmt, positiv oder ne-gativ ist; so gilt dieser Satz auch dann noch, wenn (wenig-stens von irgend einer Stelle angefangen) in der Reihe einregelmäfsiger Zeichenwechsel Statt findet.

§• 275 . Das eben entwickelte Kennzeichen für dieConvergenz und Divergenz unendlicher Reihen zeigt deut-lich, dafs das blofse Abnehmen der Glieder oder Fallender Reihe zur Convergenz noch keineswegs hinreichendsey; obschon man umgekehrt, aus dem Nichtvorhandenseyndieser Eigenschaft, mit Bestimmtheit auf ihre D i v e r g e n zschliefsen kann.

1. So hat man z. B. für die unendl. II. 1 -}- -J- -5- —f— .. -f- — -.

a n -)-i n 1/1 \

sofort - = -—;— = 1 —-b I — 4 - . . 1 , also (da x < 1

an / 1+1 a \nT- ~ J '

seyn mufs, und der Voraussetzung dal's n fortwährend zunimmt)

1 x 1

x = 1 — — und a n - — 1 — — . Da nun dieser Quotient bei

n 1 — x 11

der unendl. Zunahme von n nicht bis Null, sondern nur bis 1abnehmen kann; so ist die vorliegende Reihe divergent.

2. Für die Reihe i — 7 7 , dagegen ist

x — n -f- 1

1 — x n (2 n — 1)

Da dieser Quotient bei der unendl. Zunahme von n unendlichabnimmt und für n — 00 verschwindet, so ist diese Reihe c o n-vcrgent.

3 . Um dieDedingung zu finden, unter welcher die unendl. R.1 1 1

-~ + 7— + • • + ”—— 4 - . . convergirt, hat man2"* 4m 1 1 (2 ti)m 1 0 ’

Un+I (2 n)rn (2 )i)™ m

a n (2/i 2) m (in) m -f- > 2 .. * n ^" 1

m x n — m

also x = 1-und a a - = —;——, woraus sofort folgt,

n 1 — x rn(in) m

dafs diese Reihe für alle positiven Werthe von m. > 1 con-vergire, für alle übrigen Werthe aber d i v e r g i r e.