§• 276- Setzt man für x seinen Werth ($- 3 73)j

ein

• 3* ein _ , -»• «

so wird a n - = -, und es ist die Anwendung

1 — X iln — dn-^-i Ö

dieses letztem Quotienten statt des vorigen, zur Untersu-chung der Convergenz einer gegebenen unendl. Reihe, mci-stentheils noch bequemer.

l. So ist z. B. für die unendliche Reihe

i i

* +; + t + • • +

+

ui -j- i

+

lln ß7!^i j t

sofort -■— = 7 ; da also dieser Quotient für n = OO nicht

dn — dn-f-i ^

Kuli werden liann , so ist die Reihe divergent.

2 . Dagegen erhält man für die Reihe

1 _ 1 ein ein- j-i i

•T + T-.. ±

2 n —i ' 2/i-pi an — Un -\-i l^n 5

und da dieser Quotient bei der unendl. Zunahme von n unend-lich abnimmt und zuletzt für it — OO ganz verschwindet, sogehört die vorliegende Reihe zu den convergirenden.

l i i

3. Für die unendliche Reihe — — *4" * . hat man

lZn etn-\~ i 1

-— == ; :- 5 woraus sofort folgt,

an - «-+• m nm -i + «m— + . . S

dafs diese Reihe nur für positive, die Einheit überstei-gende Werthe von m convergire.

4. Um die Bedingung der Convergenz für die Reihe

x x- x 5

1 1.2 1.2.3*

= +

aufzufinden, hat man dafürein dn -\-1

an — anfl 1.2.3

I - 1 2 3 n

' \__X X * X ‘ ‘ X

n {n -f- i — x)

3 n (n i — x)

und es ist nicht schwer einzusehc-n, dafs dieser Quotient bei derunendl. Zunahme von n für jeden endlichen Werth von x un-endlich abnimmt, folglich die vorliegende R. für alle innerhalbder Grenzen -J- OO und —OO liegenden Werthe von x c o n-ver gir e.

5. Für die unendl. R. x — T^ 2 -f- \ x* — \x* . . erhält

a n a n -\-1 üp x a . x nJ r'

man - = -—■—--

an — ä«fi (u-J-i) .r« q- tix^-\-

Burg’* Compeudium d. hoh. Math.

7 = + * : Gi + ^)*