1Ö2

Da nun für n — CO der Quotient

(

also auch jener

n -f- 1Xn-\-

0

oder OO wird, je nachdem oder <1 ist (was man leicht

findet, wenn man beziehungsweise x = 1 -(- a und

<)• -f- d

setzt, und damit — entwickelt); so folgt, dafs diese R. nur in-nerhalb der Grenzen x = — 1 und x=. -j- > (diese letztere nochmit begriffen) convergire, sonst aber divergent scy.

6. Unter den nämlichen Bedingungen convergirt auchdie Reihe x — \ x* -f- £ x> — j x 7 -f- . .

.r 3 x$

7. Für die Reihe x — -- — ; —- — etc. findet man

2. 3

G.i..

\.r x

. 3 . 4.5

2tt-j-l 1~~x~ + *

dn ön-j-1 _

—--CT J- 1

dn — Unf 1 \X X X ' X X X

und daraus folgt, so wie im 4. Beispiele, dafs diese R. für jedenendlichen Werth von x , d. i. innerhalb der Grenzen x = ■—COx = -f-OO convergire.

8 . Dasselbe Ergebnifs findet man auch für die unendl. Reihe

x 2 x 4

2 2 . 3*4

etc.

9. Um endlich noch die Bedingung aufzufinden, unter wel-cher die R. (1 -j-arj"» = 1 -j- ) 3:2 + • •> die be-

kanntlich (§. 121) blofs für ganze positive Werthe von m ab-bricht, convergire, hat man dafür:

a n a n -\- 1 m (m —1) . . (m — ni)(mji)

■ m) .r]

d n — (Infi 1 . 2 . . . n [(ra 1) -j- (n -

und da (wie wir unten §. 297 , 5 . sehen werden) dieser (Quo-tient bei der unendl. Zunahme von n blofs für x < 1 unendlichabnimmt und für n — OO verschwindet; so convergirt dieseReihe ebenfalls nur innerhalb der Grenzen x — —1 und x — -(-1.Auch convergirt diese Reihe noch für x— 1, wenn m positivist (vergl. auch §. 278, Beisp. 2.).

§. 277 . Zusatz. Fallende Reihen, bei denenein regelmäfsiger Zeichenwechsel Statt hat, sind immerconvergent. Denn sind wieder + a n + a n -\-i 2 aufeinander folgende Glieder (oder wenn immer mehrere Glie-der das nämliche Zeichen besitzen, Gruppen von Gliedern)

der R , so hat man a " anJr ‘ - = + 1 : (— -!-•—') ; da

&a Ctn -|-t iinj