nun die R. fallend ist, also a„ und für « = oo un-

endlich klein, demnach -

und — unendlich grofs wer-

&n

den; so wird dabei in der That dieser Quotient gleich Null.

S - 270 . Die in 2 y 4 zur Untersuchung der Con-

vergenz der unendl. Reihen entwickelte allgemeine Regel

läfst sich für jene besondern Reihen, für welche der Quo-

. fln+i _ N n a + a n a 1 4- . . ....

tient —— die Form /•) - - - - - erhalt, noch

an n a + An 1 + . .

einfacher ausdrücken. — Es sey nämlich

a n = (n r -f- pn 1 1 -j- . .) : (rc m -j- p'n m —' -J- . .)

das allgem. Glied einer solchen R., und dabei m und r

positiv, so ist

«"+.=[(«+ 1 ) r +7>( ra + 1 ) r-, +.-]: [ 0 +« ) m +/>'(«+* )'"“*+••]= [« r + 0+ r ) nr ~' + • •] : [n m -f- (p ,J r m ) n ” l ~' +. •]»demnach

an+i « r + m 4- (p + p + r) «'•4-771—1 _j_ 4 . m—r

a„ n r + m + (p + p'+m) /jr+m— 1 _j_.. n

es ist also x — 1 — ——- undn

(n r -|- pn'

X

1 — X

r ).

welcher Quotient bei der unendl. Zunahme von n offenbarnur dann unendlich abnehmen kann, wenn m —1 j>r oderm — r> 1 ist. Da nun aber, den obigen Quotienten r) mitjenem s ) verglichen, r-|-m=a, p —J- />' —j— /* = <z undp-\-p'-\-m=^A, mithin m=:A — p — p und r = a — p — p\folglich m — r=sA—a ist; so wird also die betreffendeReihe convergiren, wenn (bezogen auf den obigenQuot. r) A — a > -f- 1 ist.

1 . So sind z. B. für die beiden unendlichen Reihen

«+! + * + ■• und + ^ + ^ + • •

die Quotienten

Ctn -\-1(Zn

beziehungsweise: