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§. 296. Mit Hilfe der logarithmischen Eeihe 2 ),284 , läfsVsich nun auch eine Formel zur approximativenBerechnung von x aus der Gleichung x x c= a entwickeln.Denn ist # = a ein vom wahren Werthe um keine ganzeEinheit mehr abweichender erster Näherungswerth, wel-cher durch ein paar Versuche leicht gefunden wird; sosetze man m) x = a,-\-y , wobei also t ist. Dadurcherhält man, wegen x logx = loga:

log a = (a +7) log (a -f j) = (« + 7 ) | ~log a logoder wegen

C'+9=«ß-:(0'+---]

wenn man nämlich, da es sich nur um einen einfachen Nähe-

rungswerth handelt, die höhern Potenzen von — ausläfst:

a

log a = (a -j-7) ^log a -j-= a log a -{- My -\- J' log a

]/[ yl

[—— wieder weggelassen], und daraus als Näherungswerthfür 7 :

9 )

7 =

loga — a logaM -|- loga

Um z. B. ans der Gleichung #* = 645 den Werth für x zufinden, hat man nach dieser Formel, da 4 4 =s56 und 5 5 = 3i25ist, also x zwischen 4 und 5 liegt, für a = 4'5, wegen « = 645und (§. 292) M = *4342945: 7 = — '119. Mit diesem Werthe ist

# = 4'5 — - ii9 = 4 ' 38 i genauer als der vorige Werth a Läfstman diesen letztem Werth für a gelten , und berechnet nachder nämlichen Formel 9) dafür y, so erhält man 7 = — '00109,also ist noch genauer: # = 4 ' 38 i —'00109 = 4'3799i. Setzt manaber neuerdings a=4'3799i, so findet man y — — 'o 5 i , also

# = 4'3799 1 — 'o 6 i = 4'3799099 , welcher Werth bereits schonbis einscliliefsig zur 7 . Decimalstelle richtig ist und durch Fort-setzung dieses Verfahrens leicht noch genauer gefunden werdenkann.

Convergenz unendlicher Factorenfolgen.§. 297. Um zu untersuchen, unter welchen Bedin-gungen eine unendl. Factorenfolge f’s= a, a 2 a 3 .. .a n ßn+i •••