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convergirt, d. h. sich einer bestimmten endlichen Grenzeum so mehr nähert, je mehr Factoren von vorne hereinman beibehält; so bemerke man, dal's wegen 283, 285)a„ = e lan , auch i) F = r^ + /a 2 + --'+ /a « + --- ist. Istnun die unendl. Reihe 2) la x -|- l a 2 -j- la n -j- . . .

convergent, und s ihre Summe, so ist auch F = e"convergent und von Null verschieden. Ist dagegendiese R. 2) divergent, also ihre Summe = + 00; so istim 1. Falle F sa e+°° = 00 divergent, und im 2. FalleF = e~ 03 =0, also convergent und gleich Null.

1. So ist z. B. fiir die unendl. Factorenfolge (1 —J— 1) (1 —J— -5-)(' +9) ( l +Tö) • • • die obige Reihe 2) sofort:

; (‘ + ’) + 1 ’ ' + 1 + +•

Setzt man Kürze halber den Quotienten (§. 27h)

Cln Gn ~{-»

-- ■ = (J,

Cln — Gn-\-\

löst hier l (1 4 -— | und l (1 + ;—;—— J nach §. 285 , 3 ) auf,

und behält dabei nur immer das 1. Glied der R. bei; so erhält

man 0 =---=---. Die vorige R. ist demnach,

v n 2 2/1+1

da für ra=co, Q = o wird, convergent; cs convergirt alsoauch die vorliegende unendl. Factorenfolge gegen eine endlicheGrenze.

2. Für die Factorenfolge (1—f)(i—v)(i—wird die obige R. 2); l (1 — 7) + l (1 — f) +..., und für diese,

nach einem ähnlichen Verfahren, Q =-- —;—,——Diese

n— («+ 1)

R. ist also divergent und (da Q negativ ist) ihre Summe =— 00 ;es convergirt demnach die betreffende Factorenfolge gegenNull.

3 . Da man hingegen für die Factorenfolge (1 + i )0 + y) • • •

— )..., Q = ___ = 1 findet, so wird diese für

nj ‘ v m+ 1 — n

n — OO ebenfalls Unendlich und ist sonach divergent.

Für die unendliche Factorenfolge (1 + af ) (■±5)