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findet man, (lafs sie für einen jeden

endlichen Werth von x gegen eine bestimmte endliche Grenzeconvergire.

5 . Um endlich noch zu untersuchen, für welche Werthe von

m(m —l )(m —2 ) . . . (m — n + i)

x die Factorenfolge-;- x n , wel-

1.2 • 6 ... 11

x n

n

eher man auch die Form + m

geben bann, convergire, wird dafür die obige R. 2): l (-?)+•

( m \ f ln\

1-I - 4 - n 1 Ix - - 1 , wobei sich das letzte Glied,

*—V V

bei der unendl. Zunahme von n (weil dabei — gegen Null con-

n

vergirt , I. , 3 i 8 ) , auf nix reducirt. Für positive Werthevon m ist die Summe dieser R. bis einschliefsig zum vorletztenGlied genommen, da sie steigend, also divergent ist, und dieLogarithmen negativ sind, gleich — OO ; es ist also für n = OOdie Summe der ganzen R. =00(—1-| -Ixi, und daraus folgt,dafs für negative Werthe von Ix überhaupt, also für x < 1,dann für solche positive Werthe, wofür lx<. 1, also für x<e,

mithin zusammen, überhaupt für a; 1, die besagte Reihe 2)

gleich 00, demnach endlich die vorliegende Factorenfolgegleich Null wird; ferner, dafs für x > e (d. i. a:>2'7i8), wo-für nämlich lx> 1 ist, die Summe dieser R. =-|-oo, folglichdie Factorenfolge divergent oder unendlich wird.— Für nega-tive Werthe von m hingegen ist für n = CO die Summe die-ser R. 2) = 00(1 -J- l a:) , also für x ^ 1 sofort =-[-OO, undfür solche Werthe von .r<i, für welche dem numerischenWertlinach Ix > 1 ausfällt (da dabei Ix negativ ist) = — OO: dieFactorenfolge selbst ist daher im 1. Falle divergent und im 2.convergent und gleich Null. Alles zusammengefafst, sieht manalso, dafs die hier vorliegende Factorenfolge bei jedem Werthevon m, für x < 1 convergent und gleich Null, dagegenim Allgemeinen für x > 1 divergent und unendlich sey.