Zehntes Capitel.

Trigonometrische Reihen. Berechnung von 7 r.M6i\>r-sehe Formel. Binomische Gleichungen.

§■ 298 . Setzt man Kürze halber V — i—i und inder Reihe /j), §.282, statt a einmal xi und dann ■— xi ;

. a- a 3 i x* .r5 i

so erhält man : «•" = 1 - 4 -ai-- - —--—

1 2 j.3 s.0,4 J...5

, . . x 2 , X* i , x* a'- i

etc. und e~ xl = 1 —xi --——1---- — etc.

2 2.6 2.Ö.4 .2 ... Ö

Ferner aus diesen beiden Reihen, wenn man sie einmal zu-sammen addirt und dann auch von einander subtrahirt, imerstem Falle sogleich durch 2, und im -leitztern durch 2idiv'idirt:

exi -(- e—x

x - . x* x a

2 ‘ 2 . 3.4 2...6

x 3 , x 5

2.3 1 2.3.4.5

' T +

* “ +

+

und

§• 299 . Bezeichnet man den ersten dieser beidenExponentialausdrücke durch f(x) und den letztem durchf(x), so erhält man ganz einfach daraus folgende Relatio-nen: /(o)=>i, 9(0) = o, /(*)’ +9 (*)’ = 1, /(— x)= /(+«), ?(— x ) = — 9 (+*)> /(2 a) = 2/(a)’— 1■. — 1 — 2 9 ( x )’, 9 (2 x) = 29 (x)f(x) u. s. w., so wie auchnoch, 9 (a ±j) = 9 (x)f(y) + 9 0')/(a) und f(x ±j)= f(x)f(y) + 9 0*0 9 00 [h, 328]. Aus allen diesen Re-lationen folgt aber, was auch schon die beiden ersten alleinbeweisen, das f(x) — cosx und 9 (a) = sinx sey (vergl.

§§• 9 ~ 3 4 ).

§• 800 . Man hat demnach folgende wichtige Aus-drücke :

e x\/—i e —W—> exV— 1 -f e— 1

1) sin x =- f - 1 2 ) cos x — -—,

' 2 V — 1 2

a 3 . x 5

3 ) sin x = a — •—- T- -- — • • • 1

' 2 .3 2 ... 5