X«

176

4 ) cosx

X* X 1

2 2.3.4-

oo,

2 ... 6 ^

-)- oo für beide R. |.

- . ,,, , sln X , cos X

§. 801 . Wegen tangx = ^ und cotx = ^

erhält man ganz einfach, wenn man für sin x und cos x dieReihen 3 ) und 4 ) substituirt:

X’ 2X’ 17X7 Ö2X»

5 ) /*«** = * + . 8 - + ä - + §r ^ + __ + ...

6 ) cot x = —

X

X

3

X 5

3*71

2X J

3"'-. 5 .7

[Wie man in diese Reihen durch Einführung der Bernoul-li sehen Zahlen (§. 239 , Anmerk. 1 ) ein Gesetz hineinbringt, sowie die Entwiclil. der Reihen für Isinx , l cos x etc., s. m. I.,333, ff.].

§• 802 . Um x durch sinx und tangx auszudrücken,erhält man durch Umkehrung der Reihen 3) und 5), §. 267 ,Reispiele 3 . und 4.:

7 ) x = sin x

1 , sin xJ , 1 .3 sin x 3 1. 3.5 sin x 1

2.3 2.4.5 2.4.6.7

j sin x —“• 1 , sm x ■ 1 — *-|—

+ ...

* >

8) x == tangx — j tangx 3 -f- } tangx s — - tangx 1 -]-•••| lang x = — 1, lang x = -j- 1 J.

Anmerlt. Diese letztere Reihe liann auch direct auf folgendeArt abgeleitet werden: aus den Gleich. 1) und 2), §. 3 oo,folgt durch Addition und Subtraction (wieder \j ■—• 1 = igesetzt): e« = cosx isinx = cosx{ 1 i tangx) unde —xi — cos x — i sin x = cos x (1 — i lang x), und wenn manauf natürl. Logarith. übergeht: xi = l cos x -J- l (i ilangx)und — xi = l cos x -j- Z (1 — i tangx)-, diese beiden letztemGleich, von einander abgezogen, erhält man, wenn man auch

gleich durch 2 i dividirt: x = -7 / ( ]., + i tangx\

ii \i — i tangx/

wegen (§.287, ß)

/1-f-i lang x \ ,

[T-i tangxJ = -1 tangx 3 + . '. .),

endlich: x — tang x — j taug x 3 + {taug x 3 —...