m

a) x = cos — jt + i sm —

n — n

aus welcher Formel man die n Wurzeln dieser Gleichungdurch die successive Substitution von r = o, 1 , 2 , . . .

— oder —-—, je nachdem n gerad oder ungerad ist,

erhält.

An merk. Für n gerade entstehen 2 reelle W. +1 und

n

— 1 [aus den Substit. von r — o und r — —] ; für n un-

2

gerade nur eine reelle W. -f-1 (aus der Substit. von

r = o). Alle übrigen W. sind imaginär (und entstehen

aus den übrigen Werthen von r), welche (übereinstimmend

mit §. 160) paarweise conjugirt, und überdiefs, wegen

( 2r . : 2r \/ ir .2 r \

cos — 7 t 4 - 1 sin — 7 t J( cos — 7 t — 1 sm — 7 t ) = 1,

n n y\ n n J

reciprok sind.

1. Für die Gleichung x* — 1=0 folgt aus a ):

r , . . r

x — cos — 7 t -r t sm — 7t,

2 2

und man erhält daraus für r — o, 1 , 2 beziehungsweise:

x — cos o + i sin 0=1, cos— + t sin — = + i und

2 2

cos 7 t + i sira 7 t ~— 1.

Die 4 Wurzeln dieser Gleich, sind also : +1, •— 1, — 1

und — \/— 1.

2. Für die Gleichung x 5 — 1 = 0 erhält man aus a) t

w 2 r

= cos— 5 t + t sm — 7 t,

5 5

und daraus beziehungsweise für r = o, 1 und 2 :

x — cos o + i sin o zr 1, cos 72 0 + i sin 72 0 undcos i 44 i £ ’S* 71 , 44 *

Die 5 W. dieser Gleich, sind daher (mit Zuhilfnahme dertrigonom. Tafeln):

1, ‘3090170 +' 9510565^—1 und —'8090170 +'5877853V—i-

§. 312. Aus der Gleichung x n -J- x = o folgt eben

I

so x = (— 1 )”, und wenn man in der Formel 3), §. 3o8,

i

— statt n setzt:n

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