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§. 315 . Ist dagegen n gebrochen und gleich

— , so hat ($. 3o8) (-j- i) m m verschiedene Werthe , wo-von nur einer, wenn m ungerad, und zwei reellsind, wenn m gerad ist. Es läfst sich daher die obigeGleich. 1) nicht mehr für alle Werthe von r, sondern nur

S

für jene, für welche (-{- i) m reelle Werthe erhält, also

(J. 3 11 ) beziehungsweise für r = o und r = o, r=—, auf

die vorhin angegebene Weise trennen. Für alle übrigenWerthe von r zerfällt jedes der beiden Glieder im 2 . Theileder Gleich, i) in einen reellen und einen imaginären Theil^

was man am besten sieht, wenn man für (-)- i) m den Werthaus 2 ), §. 3o8, substituirt. Es fällt also auch die Trennungder Gleich, i) durch Gleichsetzung der reellen, so wie derimaginären Theile, anders aus als im vorigen §. Man er-

.5

hält nämlich, wenn man Kürze halber n statt -- stehen

m

läfst und die obigen Reihen 2 ) und 3), nämlich

cos x n — cos x n —‘ t sinx 11 -{-... = R und

cosx a ~‘ s

cosx n ~' sinx — cosx n ~ 3 sinx 3 -}-... = R! setzt:

4) cos n (x + tirx) = cos 2rnx .R + sinzrnx.R’,

5) sinn(x + 21 ’x) = + sinvmx.R -j- cosarnx.R,

m un-

welche beiden Formeln für r=o, wenn (in n = —)m un-

in n=z —m

gerad, und für r=o, r= —, wenn m gerad ist, wie es

seyn soll, in die obigen 2 ) und 3) übergehen.

Anmcrl. Da diese Formeln 2 ) — 5), den Fall ausgenommen,in welchem n eine ganze, positive Zahl ist, ebenfalls nur

_ x

innerhalb der Grenzen x= + — verläfsliche Resultate lie-

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fern; so wird man für aufserlialb dieser Grenzen liegende

ft

Werthe von x, x — y + h— setzen, und, was immer mog-

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