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Zweites Capitel.

Anwendung der Algebra auf die Auflösung einigergeometrischen Aufgaben.

§. 366 Aufgabe. In ein gegebenes Dreieck ABC(Fig. 18) ein Quadrat einzuschreiben. . Fig. 18.

Auflös. Nimmt man die Aufgabe als gelöst, und.EFHG als das gesuchte Quadrat an, fällt aus C auf ABdas Perpendikel CD', so kommt es offenbar nur darauf an,den Punct 1 zu finden, durch welchen man zu AB die Pa-rallele EF ziehen mufs, damit EF= 1 D werde. Mansetze demnach Dl — EFz= x, und suche zwischen x undden Linien des Dreieckes, die sonach bekannt sind, eineRelation zu erhalten. Dazu folgt aus den beiden ähnlichenDreiecken ABC und EFC, deren Grundlinien sich wieihre Höhen verhalten, AB : EF= CD : CI, oder, wennman AB = a und CD — h setzt, a : x = h : h — x,

woraus man x = —, nämlich als eine 4. Proportional-a h

linie zu a-f-A, a und h erhält. Um diese gleich mit Be-nützung der Figur zu construiren, nehmen wir den Win-kel CDB, und schneiden, da schon D C = h ist, auf demverlängerten Schenkel DB, die Stücke DK = AB = a undKL = CD — h ab; so ist DL = a -f- lu Verbindet manferner L mit C, und zieht zu dieser Verbindungslinie durchK die Parallele KD, so schneidet sich dadurch auf der Ge-raden CD der gesuchte Punct I ab. Denn es ist dieserConstruction zufolge, DL: DK = DC : DI oder

ah

a —1—. ft : cl —• Jt * D 1 —• r —— x .

1 a h

§. 36 T* Aufgabe. In der Seite AC des DreieckesACB (Fig. 19) einen Punct D von solcher Beschaffenheit Fig. 19.zu finden, dafs die durch ihn zu AB gezogene ParalleleDE einer gegebenen Linie n gleich werde.

Aufl. Nimmt man wieder die Aufgabe als gelöst undD für den gesuchten Punct an , so hat man die Proportion :