Es ist aber auch, wenn

AF : n = a : b, also AF = — - .

u

man, da es nur darauf ankommt, den Punct F zu finden,BFz=x setzt, aus dem rechtw. Dreieck ABF:

BF =z \/AF z — AB\ d. i. x = ±

b

so, dafs man für a? zwei Werthe oder eine doppelteAuflösung der Aufgabe hat.

Um diese Werthe zu construiren, beschreibe man ausC mit dem Halbmesser CD — CD' = n einen Kreisbogen,so ergeben sich auf der Geraden MN die Durchschnitts-puncte D, D'; zieht man dann noch zu den Verbindungs-linien CD, CD' durch A die Parallelen AF und AF', sosind BF und BF' die beiden Werthe von x. Denn es ist,dieser Construction zufolge, B D = Vn.* — b\ BC : BD= BA : BF oder b : y/n 2 — = a : BF, also

a\/ n- — b 2

BF — - - - = 4- x und B F = — BF — — x.

u

An merk. Diese Construction wird u n m ü gl i c h für CD<CB,weil dann kein Durchschnitt D oder D' entsteht. In diesemFalle sind aber auch , wegen n<_b, die Wurzeln oder Auf-lösungen von x imaginär. Für n~b fallen, wie es seynsoll, AF u nd AF’ mit AB zusammen.

§.370. A ufgabe. Es sind zwei Puncte A und BFig.ii. (Fig. 21) gegeben; man suche in der Geraden AB oderihrer Verlängerung einen dritten Punct C von solcher Be-schaffenheit, dafs dessen Abstand vom Puncte A eine mitt-lere geom. Proportionale zwischen dessen Abstand vom 2 .Puncte B und der Geraden AB bilde.

Aufl. Angenommen, der Punct C liege, da diefseben so gut seyn kann, von A gegen die rechte Seite, alsozwischen A und B , und sey A B = a -unä A C = x •, soist C B = a — x, mithin der Bedingung der Aufgabe ge-mäfs AB : AC — AC : CB oder a : x = x : a — x, und

daraus

Man hat daher für x