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§. BT 1 . Aufgabe. Eine gerade Linie AB (Fig. 22)und ein Kreis JMED sind der Grüfse und Lage nach ge-geben 5 man soll in der Peripherie des Kreises einen PunctM von solcher Beschaffenheit linden, dafs, nenn er mitden Endpuncten A und B der Geraden AB verbunden,und hierauf die Sehne DE gezogen wird, diese mit derGeraden AB parallel laufe.

1. Aufl. Man nehme wieder an, die Aufgabe sey ge-löst und M der gesuchte Punct; fälle aus C und D aufAB die Perpendikel CF, DG und setze CD — CI =. r,AB = a , AF — b , C F = c , und, da es hinreicht denPunct D zu linden, welchen wir der Bequemlichkeit derRechnung wegen, durch zwei Linien festsetzen wollen,AG — x, Gü=yi so wird CII—c — y, DII=GF—b—x,und aus dem rechtw. Dreieck CDU: CD 1 — D IDCH 1oder 1) r 2 —(b —a;) l -(-(c— y) 2 , und daraus, wenn manentwickelt:

1') x 2 -|- y 2 = 2 b x -(- 2 cy -J- r 2 — b 2 — c 2 .

Um noch eine a. Relat. zwischen x und y zu erhal-ten, hat man aus den ähnlichen Dreiecken MAB und MDE:MA:MD = AB:DE oder MA:DA = AB: (AB — DE),und wenn man das 1. Verhältnifs mit AD multiplicirt, auchAM. AD : AD 1 — AB : ( AB — DE). Nun ist aber, wennman an den Kreis aus A die Tangente AI zieht und AI—psetzt: AM. AD = AB — p 2 , folglich auch, da noch AD 2= x 1 -f- y- und DE—aHD — 2(b — x), also AB — DEa -j- 2 x — 2 b ist:

2) x z -{- y z = — (a -j- 2 x — 2 b).

Die Verbindung dieser beiden Gleich. 1') und 2) gibt,

wenn man die 3 . Proportionallinie (§. 358 ) ~—m setzt,

wodurch p- = am, oder (aus den rechtw. Dreiecken ACFund AC 1 ), wegen AC l — fi 2 -)-c 2 und AI 2 = AC Z ■ — CI Z ,nämlich p 2 oder = — r 2 wird: m (<z -j- ax—2 b)

<= 2bx-\~2cy — am, oder endlich, wenn man reducirt:

3 ) {b — m)x cy — ( a — b)m.