Bestimmte A ufgaben.

§• 429 - Aufgabe. Zwei Puncte und eine geradeLinie sind gegeben, man soll einen Kreis finden, welcherdurch beide Puncte geht und die Gerade berührt.

Aufl. Nimmt man die gegebene Gerade AX (Fig. 43) Fig, 43 ,zur Abscissenaxe, und den Punct A, in welchem diese vonder Verbindungslinie M'MA der beiden gegebenen PuncteM, M' geschnitten wird, zum Ursprung der rechtw. Coor-dinaten, bezeichnet die Coordin. der gegebenen Punctedurch x, y und x", y" , so wie jene des Mittelpunctes desgesuchten Kreises und dessen Halbmesser durch p, q, r;so ist die Gleich, der Geraden AM': 1) y = ax, und jenedes gesuchten Kreises, mit Rücksicht der zweiten Bedin-gung der Aufgabe, zufolge welcher q=sr wird : 2) x 2 -\-y~

— 2 px ■— 2 ry -|- p z = o. Diese beiden Gleichungen miteinander verbunden , geben, wenn man nach x ordnet:

i(p + a r)

+

o,

1 -{- a z 1 -f- a-

welche Gleich, also die beiden Wurzeln x = x und x=zx"(als Abscissen der Durchschnittsp. der Geraden AM' unddes Kreises) besitzt; man hat also (§. 162):

x -{- x" =

MpA-.ar)

ld xx' ==

1 -{- a 2

1 -p a z

und aus diesen beiden Gleichungen

/ , -;-— , (x‘4-x“)(i + a-) — ip

p = yxx (1 -j-ix 2 ) und r = -—— -

von welchen beiden Ausdrücken jedoch der letztere zurConstruction selbst nicht gebraucht wird, indem es hin-reicht, mittelst des erstem den Berührungspunct B zu be-stimmen und dann durch die 3 Puncte M, M', B (§.402)den gesuchten Kreis zu ziehen. Um aber zu diesem Endeaus dem erstem Ausdruck a zu eliminiren, hat man ausder Gleich. 1), da die entsprechende Gerade durch M und

M gehen soll, y's=ax und y"=ax", also a = — = —■/,

mithin ist auch, wenn man für a den erstem Quotientennimmt: