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sofort MN = AC. Dagegen erhält man durch Sub-traction dieser Gleich., wegen cos a z — sina z = cos2a und2 sin <i cos a = sin 2 a, sofort M— N=(A — C) cos 2 a — Bsin 2 a,oder, wenn man für sin 2 a und cos 2a die oben in p ) (§. 484)aufgestellten Werthe setzt und reducirt, auch

M — N = \/(A—C) z -j- B 2 .

Da man nun von M und N die Summe und den Un-terschied kennt, so ist M= \ [A -)- C -(- — C) 2 -j- IP]

und N=\[A+C — y/(A-^C) 2 + B 2 ], mithinMN — |(4 AC— B 2 ).

Aus dieser letztem Gleich, folgt aber, dafs M und Neinerlei Zeichen besitzen, wenn l\AC — B 2 positiv,oder, was dasselbe ist, B 2 — l\A C negativ, dagegenverschiedene Zeichen haben, wenn diese DifferenzB z —- 4 AC positiv, und dafs endlich M oder N Null ist,wenn B z —- t\AC = o ist. Diese Ergebnisse mit denen dorbeiden vorigen §. zusammengehalten, geben sofort für diese3 Curven folgende Kennzeichen: die allgemeine Gleichung

1 ) Ay z -f- Bxy -|- Cx 2 + ... = o gehört einer Ellipse,Hyperbel oder Parabel mit Einschlufs ihrer Varietä-ten an, je nachdem B 2 —. l^AC <, > oder = Null ist.

Der Mittelpunct der Linien zweiter Ordnung.

§. 494. Wir wollen ferner noch, ebenfalls durcheine passende Transformation der Coordin., untersuchen,welche von den Linien zweiter Ordnung einen Mittelpunct,d. h. einen solchen Punct besitzen, in welchem alle Seh-nen der Curve halbirt werden. Dazu verändern wir denUrsprung upd setzen in der allgemeinen Gleich. 1 ), §.483,statt x und y'-f-S statt y, so entsteht die Gleichung

2 ) Ay 2 -j- Bxy -j- Cx 2 -|~ Dy -j- E’x -{- F'= o, in wel-cher A, B, C noch die nämlichen Coefficienten der ur-sprünglichen Gleich, sind, dagegen, wie man sehr leichtlindet, D’ = 2 A b -f- Bd -f D , E'= 2 C 1 I -J- Pö -j- £ undfAb 2 -f Bdb -j- Cd 2 -f- Db -}- Ed + E ist.