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a) Für a o folgt daraus y z = r z — c* oder y = + Vr *—c-,nämlich die Gleich, eines Systems zweier (mit der Abscissenaxe)parallelen Geraden RR’, SS'. Diese sind nur möglich,wenn c<r, d. i. wenn der Punct G zwischen K und L liegt,Fig. 58; und werden imaginär, wenn dieser Drehungspunct G (Fig. 58)in die Verlängerung von LK fällt. — Dieses System der bei-den reellen oder imaginären Geraden bildet sofort dienoch fehlende Varietät! der Parabel des §. 49 1 -

Neuntes Capitel.

Über die besondern Eigenschaften der Kegelschnitteoder Linien der zweiten Ordnung.

I.

In Bezug auf ihre Hauptaxen.

a) Für die Ellipse und Hyperbel.

§• 500 . Um fürs Erste die Bedingung auszudrücken,.unter welcher irgend ein Punct in der Ellipse selbst, in-ner- oder aufserhalb derselben liegt, haben wir für jedenFig.6o.Punct M (Fig. 6o) der Curve selbst (§. 454 ) die Relation:

1 ) a*y* -(- b* x* — a* b- = 0 . — Für einen Punct «in-nerhalb der Curve ist die Ordinate Pn kleiner als diederselben Abscisse CP entsprechende Ordinate PM derCurve, also auch a*.Pn* <j a z .PM*, d. i. ( Pn-=y gesetzt)

2 ) a* y* -p b* x % — a* b* o. — Für einen aufserhalbder Ellipse liegenden Punct N ist PIV>PM', also aucha*. PN* a*. PM*, d. i. (für PN=y) 3 ) ary* -j- b*x* — d*b* ]> o.Noch mehr gilt diese Relat. 3) für einen Punct wie IV'; dennist CQ, d. i. x^>a, so ist b* x* j> a* b*, also um so mehra*y* -j- b* x* j> a* b z , woraus die Relat. 3) folgt.

§. 501 . Ein zweites Kennzeichen folgt aus der De-finition der Ellipse; es ist nämlich für jeden Punct M derCurve (J. 45 1 ) FM -{- F'M = 2 a, Für einen Punct r in-nerhalb der Curve ist Fr -p F'r < FM -p F'M , d. i.