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Fr -)- F r <[ 2 a, und eben so für einen Punct R aufs er-halb derselben: FR -)- F'R > 2 a.
Eben so findet man für die Hyperbel [inan darf (§-465)in den vorigen Relationen nur — b 2 statt -f- b 2 setzen], dafs einI’unct (dessen Coordinaten x , y sind) in der Curve selbst in-ner- oder aufs erbalb derselben liegt, je nachdem für die-sen Punct a 2 y- — b 2 x- -j- a % b 2 =, < oder >o ist; oder auch,dafs in diesen 3 Fällen, wenn M ein Punct der Curve, r in-ner- und R a u fs e r h a 1 b derselben liegt, F'M — FM — 2 «
(§. 46o), Pr — /'V> 2 a [wegen (Fig 53) 1" r — F'M -J- Dl r und Fig. 53.Fr < FM -j- M r] und F'R — FR < 2 a (wegen F'R = F'M — MRund FR > FM — MR) sey.
§. 502. Aus der Gleich. I. (§. 454 ) der Ellipsefolgt y 2 : (a -j- x)(a — x) = b 2 : a "-, oder mit Rücksicht aufdie Figur (Fig. 52) P M 2 : A' P. AP~ b 2 : a 2 . Für einen 2.Fig.5i.Punct derselben Ellipse hat man eben so: P'M ' 2 : ÄP'. AP'
= b z : a 2 ; es ist also P M 2 : P' M' z = A'P . AP : A' P '. A P . —
Für 6 = a oder den Kreis hat man P M 2 : Ä P . AP~ 1 : 1 ,also P M 2 =:A'P. A P (vergl. §. 400 , Anmerk.).
Dieselben Proportionen und daraus folgenden Sätze ge!Leusofort auch für die Hyperbel.
§• 503 Beschreibt man über der grofsen Axe A A'
(Fig. 61 ) der Ellipse als Durchm. einen Kreis, und be- F ‘g. Ge-zeichnet für einerlei Abscissen die Ordinaten des Krei-ses durch y, und jene der Ellipse durch jr; so hat man
b 2
y' 2 — a 2 — x 2 und/-=—(«'— x 2 ), folglich y 2 :y 2 = a 2 : b 2
oder y':y = a:b. Wird der Kreis über der kleinen Axebeschrieben, so erhält man y':y'z= b : a.
Diese Eigenschaft liefert zur Construction der Ellipse mittelstPuncte auch noch folgendes Verfahren ; Man beschreibe überbeiden Axen AA\ BW der zu construirenden Ellipse Kreise,errichte in einem beliebigen Puncte P der ersten Axe, bis zumäufsern Kreis, die Ordinate PA, und führe durch den PunctL , in welchem sie den innern Kreis schneidet, zu AA‘ die Pa-rallele LM\ so ist der mit der Ordinate dadurch entstehendeDurchschnitt M ein Punct der Ellipse. Denn es ist dieser Con-struction zufolge PN : PM = CA: CL oder y'xPM = a-.b,
Hurg’a Compoiulium d. höh. Math#