III.

Von den Tangenten auf die Hauptaxen bezogen-

a) Für die Ellipse und Hy p er b el.

§♦ 518. Um die Gleich, der aus einem bestimmtenPuncte x, y an die Ellipse gezogenen Tangente zu ent-wickeln , befolgen wir genau wieder das im §. 424 ange-wendete Verfahren. Es ist nämlich die Gleich, der Ellipse,

b-

die Abscissen vom Mittelpunct gezählt: y 2 = — (a 1 — #*),

und die einer durch den Punct x, y gehenden Secante:y — y'=:A(x — x') t Substit. man nun, zur Verbindungdieser beiden Gleich., den Werth vonj^ aus der letztem indie erstere Gleich.; so erhält man, nach x geordnet:

b- (A 2 a 2 b 2 ) x" -J- 2Ä (y — slx) x

df "

-J- y' 2 -J- A 2 x' 2 — 2 A x'y — b 2 — o,

eine Gleich , deren Wurzeln sofort die Abscissen derDurch-schnittspuncte der Secante mit der Ellipse sind. Da aberdie Secante zur Tangente werden soll, also beide Punctezusammen fallen, d. i. beide Wurzeln einander gleich wer-den müssen; so hat man (§. 4 2 5, Anmerk, 2.) die Bedin-gungsgleichung :

4 A 2 (y — Ax') 2 — ^ (A 2 a 2 -j-b 2 )(y 2 -\-A 2 x' 2 —2 Ax'y — b 2 )=o,

— x'y + \Za?-y ' 2 + b 2 x ’ 2 — a 2 b- ... ... .

und daraus A= - : - - - r„ - für die tng.

a- — x-

Tangente tles Neigungsyv. der durch x , y an die Ellipsegezogenen Tangente mit ihrer grofsen Axe. Der dop-pelte Werth zeigt auch hier, dafs im Allgemeinen aus ei-nem Puncte D (x , y) (Fig. 67) an die Ellipse zwei Tan- Fig. 67genten DM, Dm gezogen werden können; diese sind je-doch nur möglich, wenn die Wurzelgröfse reell, d. i.a 2 y' 2 -j- b 2 x 2 — a 2 b 2 > o, nämlich (§. 5oo) der Punct Daufserhalb der Curve liegt. Für a 2 y' 2 -f- b 2 x' 2 — a 2 b 2 = oist D oder x, y ein Punct der Ellipse selbst, und es reüu-

ciren sich beide Werthe von A auf einen: A —

— *y

a 2 — x'

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