VII.

Die Polargleichungen dieser drei Curven.

a ) Für die Ellipse und Hyperbel.

§• 540 . Um die Polargleich, der Ellipse zu ent-Fig. 52. wickeln , für welche der eine Brennpunct F (Fig. 5 a) derPol. und ÄA' die Axe ist, mufs man (§.448) in der Axen-gleich. a 2 y 2 b-x 2 = a- b 2 , wegen d = C F = c 5 = 0

und a = o, sofort x=c-\-u.cosv und y = u sinv setzen;dadurch erhält man :

(<z 2 sin v 2 -j- b 2 cosv 2 ) u 2 -f- 2 b 2 c cos v u = ( a 2 — c 2 ) b 2 = Z> 4 ,und daraus:

—• b 2 c cos u + b"- V asin ’j- -4- ( b 2 4- c 2 ) cos u 2

U = -=—:---,

a~ sin \i" -j- b- cos u 2

oder, wenn man (wegen a 2 —Z> 2 =e 2 ) im Zähler b z -j-c 2 = a zund im Nenner b 2 = a -— c 2 setzt:

— b 2 c cos u + a b 2

a =-;-—-’>

et, - c- cos u 4

und wenn man endlich die doppelten Zeichen trennt undjeden der beiden Ausdrücke für sich reducirt:

h 2 — 1,1

u = - unc i u — -.

a + c cos u a — c cos u

Davon diesen der letztere wesentlich negativ ist, wäh-rend man den Radiusvector immer positiv voraussetzt; soist dieser hier wegzulassen, so, dafs also der erstere oder

1) u= —-, sofort die Polareleichune der E 1 -

a - f- c cos u 00

lipse ist, welche ebenfalls (so gut wie die Axengleich.)

alle Puncte dieser Curve darstellt, wie eine einfache Dis-

cussion derselben zeigt ["II., 271].

Setzt man wieder in den beiden vorigen Ausdrücken von u,— b 2 statt -j-5 2 ; so erhält man für die P o lar g I e i ch ung derHyperbel (wenn man sie verwechselt) die beiden Ausdrücke:b- , — 5 2

u— - und u = -, von denen, wie die Dis-

a — c cos u s-f-c cos u

cussion zeigt, der erste den Zweig, in welchem der als Pol ge-