sind, zu bestimmen, lege inan durch jeden derselben 3 mitden coordin. Ebenen parallele Ebenen; so schliefscn diese6 Ebenen ein rechtw. Parallelepiped ein, in welchem die-ser gesuchte Abstand MM' eine Diagonale bildet, und worindie 3 Seiten sind:

(a b = aß^x — x", (bc — ™y)y — y" und (b M)z — z".

Da aber, wie bekannt (und ganz einfach aus den bei-den rechtwinkeligen Dreiecken M'bM und M'cb, wegenM'M- = M'b 2 -J- bM z = M'c 2 -j- cb l -j- bM 1 folgt), injedem solchen Parallelepiped das Quadrat der Diagonalegleich ist der Summe der Quadrate der 3 Seitenlinien; sohat man, diese Diagonale oder gesuchte Distanz MM'= Dgesetzt: i) D = \/(x — x") 2 -f- (/—/')* -j- (z— z') 2 .

Zusatz. Liegt der eine Punct:, z li. jener ft/', im Ur-sprünge; so erhält man daraus, wegen x“ = o, y" — o undz /, = o, für die Entfernung des Punctes M(x‘, y\ %') vom Ur-sprünge : 2) D = \Zx‘- -j- y ' 2 -p z' 2 .

Gleichung der Ebene.

§. 550. Legt man durch den Halbirungspunct einerGeraden von bestimmter Länge eine Ebene perpendiculärauf diese Gerade, so besitzt die Ebene, und auch nur dieEbene, die Eigenschaft, dafs jeder ihrer Puncte von denbeiden Eudpuncten dieser Geraden gleich weit absteht.Da also diese Eigenschaft die Ebene vollkommen charakte-lisirt, so wollen wir sie zur analytischen Darstellung derEbene benützen. Es seyen daher a, ß, y die (rechtw.)Coordin. des einen, ä , ß’, y jene des andern Endpunctesdieser Geraden und x, y, z die Coordin. eines beliebigenPunctes der Ebene; so hat man für die Abstände d, d' die-ses letztem Punctes von den beiden Endpuncten der ge-nannten Geraden (§. 5/p)): d 2 = (x —a) 2 -j- (y — ß ) 2 -J- ( z —y) 2und d 2 = (x — « ) 2 + (y — ß') 2 -f- (z — y') 2 . Da nun dieseAbstände oder ihre Quadrate für alle Puncte x, y, z derEbene einander gleich sind, so erhält man (x — a) 2 -j- (y — ß ) 2+ ( s — — a ')*+Ü‘— ß)* + ( s — y'P> oder, wenn