gegeb. Ebene; so hat man für die gesuchten Gleich, derdurch den Punct x , y, z gehenden, auf der Ebene I per-pendicul. Geraden: i) [a:— x'z=a(z —z), y — y-=b(z —z')],

A B

wobei aber [§. 586, 4 )] 2 ) a = — und b = - ist.

§. 588. ß ) Um die Länge dieses Perpendikels zufinden, wird man dessen Durchschnittspunct x, y, z mitder Ebene I aufsuchen uud die Entfernung desselben vomPuncte x, y, z nach Form. 1 ), §. 549 bestimmen. Da essich aber, wie diese Formel zeigt, weniger um die Coordin.x, y, z (die statt x", y", z stehen) als um die Differen-zen x — x, y — y, z — z handelt; so wird man bei derVerbindung der beiden Gleich. 1 ) und I. (um den genann-ten DurchsChnittsp. x,y, z zu erhalten) am einfachstensogleich diese erwähnten Differenzen selbst bestimmen.Dazu gebe man der Gleich. I. durch gleichzeitiges Addirenund Abziehen der Glieder Ax , By', Cz, und indem manKürze halber Ax - j- By -|- Cz -j- D — D' setzt, die Form:A(x —a:‘) -(- B(y — y') -)- C(z — z') -j- D' = o; so erhältman, wenn in dieser Gleichung für x — x und y—y dieWerthe aus 1 ) [mit Zuziehung yon 2 )] gesetzt werden:A 1 (z — z') -f- B- (z — z')-J-C 2 (z — z')-j-CD'=o, und dar-aus, wenn man Kürze halber A 1 -J- B* -(- C- = N 2 setzt:

s

z' = —, so wie damit aus 1 ) und 2 ):

, —Bjy , , — AD'

r — v = —-— und x — x = --

J J m ]S-

Bezeichnet man daher die gesuchte Länge des Perpendikelsmit P, so folgt nach der genannten Formel in 549 :

P* =

D* (A- -j- B- + C 1 )Jfi

oder P

D'

iV'’

und wenn man substituirt, endlich:

S) p — Ax ' "t By + Cz'-f- DV A" + IP + C‘

Zusatz. Wäre der gegeb. Punct der U rsprung, also x'xzo,

D

r = o, j’zo: so wäre P — —— - (vergl. S, 55q, 1 )].

■ V A- + B- + C z 1 b * J